Geometria sulla sfera

Le rotte aeree

Quando una compagnia aerea decide di aprire una deta rotta deve anche scegliere quella ideale cioè il percorso più breve tra l'aeroporto di partenza e quello di arrivo in modo da risparmiare il più possibile sia il carburante che il tempo. Come è stato visto, nel paragrafo precedente, il percorso minimo tra due punti sulla superficie sferica è un arco di circonferenza massima che ha per estremi i due punti. In particolare due punti A e B su una geodetica della sfera individuano due archi di circonferenza massima in generale uno maggiore e l'altro minore e il percorso minimo è dato dalla lunghezza dell'arco minore di circonferenza massima che collega i due punti. Possiamo quindi dire che nella geometria della sfera la distanza minima tra due punti è la misura dell'arco minore di circonferenza massima che collega i due punti.

Ad esempio, supponiamo che una compagnia aerea voglia inagurare un volo diretto tra Milano e Los Angeles. La latitudine di Milano è un pò più di 45° mentre quella di Los Angeles è un pò meno di 35° pertanto Milano è più a nord di Los Angeles. Ciò indurrebbe a pensare, erroneamente, che la rotta ideale sia quella in cui l'aereo dopo il decollo venga diretto gradatamente verso sud seguendo una rotta rettilinea rivolta verso sud. Nella realtà, per eseguire la rotta ideale, l'aereo dopo il decollo viene diretto ancora più a nord fino a sorvolare la parte meridionale della Groelandia e poi diretto gradatamente a sud sorvolando gran parte del Canada fino a raggiungere Los Angeles. Solo in questo modo l'aereo percorrerà la lunghezza dell'arco minore di circonferenza massima che collega le due città come si vede dal percorso giallo della seguente cartina.

Osservando la cartina si ha l'illusione che il percorso rettilineo rosso sia minore del percorso curvo giallo, ma ciò dipende solo dal fatto che la cartina è, in questo caso, una proiezione nel piano del globo terrestre. Se i due percorsi vengono visti su un mappamondo della Terra allora la situazione si inverte.