Cosa devi sapere sui numeri complessi

Radici n-esime complesse dell'unità

Nell'insieme C le radici n-esime complesse dell'unità cioè le radici n-esime di z=1+0i hanno un ruolo particolare, vediamo perchè? La forma trigonometrica dell'unità è:

cos 0 + isin 0

e le radici n-esime si ottengono mediante la formula:

• Per n = 3 si ottengono le tre radici cubiche complesse:

  

  e si può facilmente verificare che:

  

  I punti che rappresentano le radici cubiche di 1 nel piano di Gauss si trovano ai vertici di un triangolo equilatero di lato √3 e avente uno dei suoi vertici nel punto z=1 (da notare che questa è l'unica radice cubica dell'unità nell'insieme R).

  

• Per n = 4 si ottengono le quattro radici quarte complesse:

  

  Anche in questo caso è immediato fare una verifica diretta:

  

  I punti che rappresentano le radici quarte di 1 nel piano di Gauss si trovano ai vertici di un quadrato di lato √2 e avente due dei suoi vertici nei punto z=1 e z=-1 (da notare che queste sono le uniche radici quarte dell'unità nell'insieme R).

  

In generale:

Nell'insieme C vi sono esattamente n diverse radici n-esime complesse dell'unità che nel piano di Gauss si dispongono ai vertici di un poligono regolare di n lati inscritto nella circonferenza con centro nell'origine e raggio 1. Inoltre il poligono regolare ha uno dei suoi vertici nel punto z=1.

Una volta note le radici terze complesse dell'unità è facile determinare le radici terze complesse di qualsiasi numero reale a; se infatti indichiamo con z₁, z₂, z₃ le radici terze complesse dell'unità allora le radici terze di a sono:

Ad esempio le tre radici terze di 3 sono:

Cioè

Come si vede dalla figura si passa, nel piano di Gauss, dalle radici cubiche di 1 alle radici cubiche di 3 con un ingrandimento che conserva la forma e la direzione. Il triangolo equilatero più piccolo si trasforma in un triangolo più grande e si conserva la direzione di lati corrispondenti. Una trasformazione di questo tipo è detta omotetia.

In generale se n è un numero intero dispari e maggiore di 1:

Le radici n-esime complesse di un numero reale a non nullo si ottengono moltiplicando il numero

per le radici n-esime complesse dell'unità.

Una volta note le radici quarte complesse dell'unità è facile determinare le radici quarte complesse di qualsiasi numero reale positivo a; se infatti indichiamo con z₁, z₂, z₃, z₄ le radici quarte complesse dell'unità allora le radici quarte di a sono:

Ad esempio le quattro radici quarte di 16 sono:

Analogamente anche nel secondo esempio si passa, nel piano di Gauss, dalle radici quarte di 1 alle radici quarte di 16 con un ingrandimento che conserva la forma e la direzione. Il quadrato più piccolo si trasforma in un quadrato più grande e si conserva la direzione di lati corrispondenti.

In generale se se n è un numero intero pari e maggiore o uguale a 2:

Le radici n-esime complesse di un numero reale positivo a non nullo si ottengono moltiplicando il numero

per le radici n-esime complesse dell'unità.

Una volta note le radici n-esime complesse dell'unità si possono determinare le radici n-esime complesse di qualsiasi numero complesso w conoscendo almeno una radice n-esima di w; se infatti indichiamo con z₁, z₂, ..., z_n le radici n-esime complesse dell'unità e con w₁ una radice complessa di w allora le radici n-esime di w sono:

z₁ ⋅ w₁, z₂ ⋅ w₁, ..., z_n ⋅ w₁

Infatti:

(z₁ ⋅ w₁)ⁿ = (z₁)ⁿ ⋅ (w₁)ⁿ = 1 ⋅ w

(z₂ ⋅ w₁)ⁿ = (z₂)ⁿ ⋅ (w₁)ⁿ = 1 ⋅ w

(z_n ⋅ w₁)ⁿ = (z_n)ⁿ ⋅ (w₁)ⁿ = 1 ⋅ w

Ad esempio una delle radici quarte complesse di w = -2 + 2i è:

e le radici quarte complesse dell'unità sono 1, -1, i, -i e quindi le quattro radici quarte complesse di w sono:

Pertanto per calcolare le radici n-esime di un numero complesso non nullo basterebbe calcolarne una sole e ottenere le altre da questa moltiplicandola per le radici n-esime dell'inità.