Cosa devi sapere sui numeri complessi

I numeri complessi in forma esponenziale

Il matematico scozzese John Napier notò che l'espressione:

tende ad assumere un valore finito irrazionale quando ad n vengono assegnati dei valori naturali molto grandi.

A questo valore è stato dato il nome di numero di Nepero e indicato con il simbolo e

e = 2,718281...

Il numero e fu studiato da Eulero che mettendo insieme queste tre formule

E ponendo:

x = iΘ

cioè dando a x un valore immaginario puro pervenne alla formula:

e^iΘ = cos Θ + isin Θ

Ora, se si utilizza la formula di Eulero e la forma trigonometrica di un numero complesso:

z = r(cos Θ + isin Θ)

si ottiene per sostituzione:

z = re^iΘ

detta forma esponenziale di un numero complesso, dove r è il modulo di z, e è il numero di Nepero, i è l'unità immaginaria e Θ è l'argomento di z. I numeri complessi, possono quindi essere rappresentati oltre che in forma algebrica e trigonometrica anche in forma esponenziale:

Ad esempio:

Vediamo come è possibile passare dalla forma algebrica alla forma esponenziale e viceversa.

• Esempio 1: Scriviamo il numero complesso z = -2√3 + 2i in forma esponenziale.

  Calcoliamo il modulo r:

  

  Essendo la parte reale negativa e quella immaginaria positiva, nel piano di Gauss, l'immagine di z appartiene al secondo quadrante e quindi l'angolo Θ devrà essere:

  

  Calcoliamo l'angolo Θ:

  

  Pertanto, la forma esponenziale di z = -2√3 + 2i è:

  
• Esempio 2: Scriviamo in forma algebrica il numero complesso:

  Essendo:

  si ha:

  
• Esempio 3: Scriviamo il numero complesso 5 in forma esponenziale.

  Essendo r = 5 e Θ = 0 si ha:

  5 = 5eⁱ⁰

• Esempio 4: Scriviamo il numero complesso -3 in forma esponenziale.

  Essendo r = 3 e Θ = Π si ha:

  -3 = 3e^iΠ

• Esempio 5: Scriviamo il numero complesso -i in forma esponenziale.

  Essendo:

  

  Si ha:

  

Il coniugato del numero complesso z = re^iΘ è:

Infatti:

• Esempio 6: Scriviamo in forma esponenziale il coniugato di z = √3 +i.

  Scriviamo z in forma esponenziale:

  

  Pertanto, il coniugato di z è:

  

La forma esponenziale di un numero complesso presenta molti vantaggi rispetto alle altre due forme:

• è più compatta;
• è immediato conoscere il modulo e l'argomento del numero;
• è facile rappresentarne l'immagine nel piano di Gauss;

• è particolarmente agevole per eseguire le operazioni di: moltiplicazione, divisione e elevamento a potenza.

Quando i numeri complessi sono espressi in forma esponenziali possiamo eseguire le operazioni di moltiplicazione, divisione e elevamento a potenza applicando le proprietà delle potenze. Vediamo con degli esempi.

Moltiplicazione di due numeri complessi in forma esponenziale:

Dati due numeri complessi:

z = r₁e^iΘ₁;     w = r₂e^iΘ₂

Il loro prodotto z ⋅ w è il numero complesso:

z ⋅ w = r₁r₂e^{i(Θ₁+Θ₂)}

• Esempio 7: Calcoliamo il prodotto tra i due numeri complessi espressi in forma esponenziali:

  Eseguendo il prodotto si ha:

  

  Vediamo con una verifica che si ottiene lo stesso risultato operando con gli stessi numeri in forma algebrica.

  Passiamo dalla forma esponenziale alla forma algebrica:

  

  Moltiplichiamo i due numeri:

  

Divisione di due numeri complessi in forma esponenziale:

Dati due numeri complessi:

z = r₁e^iΘ₁;     w = r₂e^iΘ₂

Il loro Quoziente z : w è il numero complesso:

z : w = (r₁ : r₂)e^{i(Θ₁-Θ₂)}

• Esempio 8: Calcoliamo il quoziente z : w con:

  Eseguendo il quoziente si ha:

  

Elevazione alla potenza n-esima di un numero complesso in forma esponenziale:

Dato il numero complesso:

z = re^iΘ

la sua potenza n-esima è il numero complesso:

zⁿ = rⁿe^inΘ

• Esempio 9: Calcoliamo il cubo di:

  Eseguendo la potenza si ha: