Cosa devi sapere sui numeri complessi

Radici n-esime di un numero complesso

L'operazione inversa dell'elevamento alla potenza n-esima di un numero complesso è l'estrazione della radice di indice n. In altre parole dato un numero complesso

z = r(cos Θ + isin Θ)

una radice n-esima di z è quel numero complesso w tale che elevato all'n-esima potenza risulti uguale a z e cioè:

wⁿ = z.

Le radici n-esime del numero complesso z sono dunque le soluzioni dell'equazione wⁿ = z.

Se w₁ = r₁(cos Θ₁ + isin Θ₁) è una radice n-esima di z per il teorema di De Moivre deve risultare:

w₁ⁿ = r₁ⁿ(cos nΘ₁ + isin nΘ₁) = r(cos Θ + isin Θ)

e questa uguaglianza è vera se e solo se i due numeri complessi in forma trigonometrica hanno lo stesso modulo e argomenti che differiscono di 2Π, cioè:

con k=0, 1, 2, ..., n-1. Pertanto le radici n-esime di z hanno tutte lo stesso modulo mentre, gli argomenti variano al variare di k. La formula che consente di trovare tutte le radici n-esime del numero complesso z è quindi:

con k=0, 1, 2, ..., n-1 (si può dimostrare che per k > n-1 e per k < 0 si ottengono ciclicamente gli stessi argomenti).

• Esempio 1: Determiniamo le radici complesse quarte di z = -2 + 2i:

  Scriviamo z nella forma trigonometrica:

  

  e applichiamo la formula:

  

  con k = 0, 1, 2, 3.
  
  Per k = 0 si ha:

  

  Per k = 1 si ha:

  

  Per k = 2 si ha:

  

  Per k = 3 si ha:

  

  Nel piano di Gauss le quattro soluzioni hanno per immagini i vertici di un quadrato inscritto in una circonferenza di raggio r = √2.

  

  Osserviamo che le radici quarte di un numero complesso sono 4 mentre nell'insieme dei numeri reali le radici quarte di un numero reale maggiore di zero sono 2: per esempio le radici quarte di 16 sono +2 e -2.

• Esempio 2: Determiniamo le radici complesse cubiche di z = -3i:

  Scriviamo z nella forma trigonometrica:

  

  e applichiamo la formula:

  

  con k = 0, 1, 2.
  
  Per k = 0 si ha:

  

  Per k = 1 si ha:

  

  Per k = 2 si ha:

  

  Nel piano di Gauss le tre soluzioni hanno per immagini i vertici di un trimgolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio

  

  

  Osserviamo che le radici cubiche di un numero complesso sono 3 mentre nell'insieme dei numeri reali la radice cubica di un numero reale è una sola: per esempio la radice cubica di -27 è solo -3.

• Esempio 3: Determiniamo le radici quadrate complesse di:

  

  Scriviamo z nella forma trigonometrica:

  

  e applichiamo la formula:

  

  con k = 0, 1.
  
  Per k = 0 si ha:

  

  Per k = 1 si ha:

  

  Nel piano di Gauss le due soluzioni hanno per immagini gli estremi opposti di un diametro della circonferenza di raggio √2.

  

• Esempio 4: Determiniamo le radici quadrate complesse di z = -5 -12i:

  In questo caso non è immediato determinare l'argomento di z essendo:

  

  Vediamo allora come possiamo determinare un numero complesso w=a+bi il cui quadrato sia uguale a -5 -12i. Cioè:

  

  E l'uguaglianza è vera se sono uguali rispettivamente le parti reali e le parti immaginarie:

  

  Risolvendo la seconda equazione rispetto a b e sostituendo tale valore nella prima equazione si ottiene l'equazione risolvente del sistema:

  a⁴ + 5a² - 36 = 0

  che possiamo fattorizzare in:

  (a² - 4))(a² + 9) = 0

  Essendo a un numero reale le uniche soluzioni reali sono a = 2 e a = -2 da cui si ricava b = -3 e b = 3. Le due radici quadrate di z sono quindi:

  w₀ = -2 + 3i e w₁ = 2 - 3i

  Nel piano di Gauss le due soluzioni hanno per immagini gli estremi opposti di un diametro della circonferenza di raggio √13.

  

In generale:

Nell'insieme C ogni numero complesso z = r(cos Θ + isin Θ) diverso da zero (reale o complesso) ha esattamente n radici n-esime diverse. Pertanto ogni numero ha 2 radici quadrate, tre radici cubiche, quattro radici quarte, cinque radici quinte e così via. Nel piano di Gauss, i punti che rappresentano queste n radici sono tutti disposti su una stessa circonferenza con centro nell'origine e raggio uguale a r^1/n. Inoltre per n > 2 questi punti sono vertici di un poligono regolare di n lati inscritto nella circonferenza di raggio r^1/n.