Cosa devi sapere sui numeri complessi

Potenza di un numero complesso: teorema di De Moivre

Le potenze a esponente intero positivo di un numero complesso espresso in forma trigonometrica

zⁿ = [r(cos Θ + isin Θ)]ⁿ

si ottengono facilmente applicando ripetutamente la regola del prodotto.

Vediamo come si esguono alcune potenze di z = r(cos Θ + isin Θ):

• Calcoliamo z² = [r(cos Θ + isin Θ)]²:

  Essendo z² = z ⋅ z si ha:

  z² = [r(cos Θ + isin Θ)] ⋅ [r(cos Θ + isin Θ)]

  e applicando la regola del prodotto si ottiene:

  z² = [r(cos Θ + isin Θ)] ⋅ [r(cos Θ + isin Θ)] = r²(cos 2Θ + isin 2Θ)

• Calcoliamo z³ = [r(cos Θ + isin Θ)]³:

  Essendo z³ = z ⋅ z ⋅ z si ha:

  z³ = [r(cos Θ + isin Θ)] ⋅ [r(cos Θ + isin Θ)] ⋅ [r(cos Θ + isin Θ)]

  e applicando la regola del prodotto si ottiene:

  z³ = r³(cos 3Θ + isin 3Θ)

• Calcoliamo z⁴ = [r(cos Θ + isin Θ)]⁴:

  Essendo z⁴ = z ⋅ z ⋅ z ⋅ z si ha:

  z⁴ = r⁴(cos 4Θ + isin 4Θ)

In generale, Teorema di De Moivre: La potenza n-esima del numero complesso z = r(cos Θ + isin Θ) ha per modulo la potenza n-esima del modulo di z e per argomento l'argomento di z moltiplicato per n

zⁿ = rⁿ(cos nΘ + isin nΘ)

• Esempio 1: Dato z = 1 + i calcoliamo z⁵:

  Scriviamo z nella forma trigonometrica:

  

  e applichiamo la formula di De Moivre:

  

• Esempio 2: Dato z = 1 - √3 i calcoliamo z³:

  Scriviamo z nella forma trigonometrica:

  

  e applichiamo la formula di De Moivre:

  

• Esempio 3: Dato z = -2 + 2i calcoliamo z⁰:

  Scriviamo z nella forma trigonometrica:

  

  e applichiamo la formula di De Moivre:

  

• Esempio 4: Dato z = -3 + 0i calcoliamo z³:

  Scriviamo z nella forma trigonometrica:

  z = 3(cos Π + isin Π)

  e applichiamo la formula di De Moivre:

  z³ = 3³(cos 3Π + isin 3Π) = -27

• Esempio 5: Dato z = 0 + i = i calcoliamo alcune potenze di z:

  

  E' facile capire che le potenze di i si susseguono, a partire da i⁰, secondo il ciclo

  1, i, -1, -i

  Quindi:

  

  Tutte le potenze di i hanno modulo 1 e nel piano di Gauss si dispongono, ciclicamente, ai quattro vertici di un quadrato. Inoltre, le potenze pari di i sono numeri reali mentre non lo sono quelle dispari.

  

• Esempio 6: Dato z = 1 + i calcoliamo z⁵ lasciando z in forma algebrica:

  Si applica la stessa regola per il calcolo delle potenze di un binomio nella variabile i:

  (1 + i)⁵=1⁵+5⋅1⁴i+10⋅1³i²+10⋅1²i³+5⋅1i⁴+i⁵

  Cioè:

  (1 + i)⁵ = 1 + 5i - 10 - 10i + 5 + i = -4 - 4i

  Come si può facilmente intuire, se n è maggiore di 3, lasciando z in forma algebrica il calcolo delle potenze n-esime di z è più laborioso rispetto a quello che utilizza la formula di De Moivre.

Applicando la proprietà |z ⋅ w| = |z| ⋅ |w| si ottiene:

E in generale si ha:

|zⁿ| = |z|ⁿ

La proprietà |zⁿ| = |z|ⁿ ha una conseguenza interessante dal punto di vista geometrico: se z ha modulo 1 allora tutte le immagini delle sue potenze devono disporsi, nel piano di Gauss, su una circonferenza con centro nell'origine e raggio unitario. Le immagini delle potenze di z essendo ottenute con delle moltiplicazioni ripetute subiscono sia una rotazione che un'omotetia di fattore 1 per cui hanno distanza 1 dall'origine.

Verifichiamolo con un esempio; consideriamo il numero complesso

che ha modulo 1. Scriviamo z nella forma trigonometrica e calcoliamo le prime 12 sue potenze:

Nel piano di Gauss queste 12 potenze di z hanno tutte distanza 1 dall'origine e si dispongono, ciclicamente, ai vertici di un dodecagono regolare (z¹² coincide con z⁰, z¹³ con z¹, z¹⁴ con z² e così via) perchè l'argomento di z in forma trigonometrica è di 30° ed è quindi 1/12 dell'angolo giro.

Come si dispongono nel piano di Gauss le successive potenze di un numero z se il modulo di z è diverso da 1?

Consideriamo un numero complesso che abbia, ad esempio, il modulo di poco maggiore di 1, ad esempio:

che ha modulo

e calcoliamo le prime 21 potenze. Nel piano di Gauss queste potenze di z si dispongono, questa volta, lungo una spirale che si espande sempre più rapidamente. In questo caso i punti corrispondenti ad ogni potenza di z subiscono, oltre alla rotazione, un'omotetia di fattore pari al modulo di z cioè di un fattore pari a 1,09 e quindi la loro distanza dall'origine aumenta continuamente. Per cui se |z|>1 i punti si allontanano indefinitamente dall'origine.

Naturalmente, se consideriamo le potenze di un numero complesso z il cui modulo sia di poco minore di 1, ad esempio

Nel piano di Gauss le potenze di z si dispongono, questa volta, lungo una spirale che si avvicina sempre più all'origine.