Cosa devi sapere sui numeri complessi

Logaritmi nell'insieme dei numeri complessi

Ricordiamo che nell'insieme dei numeri reali la scrittura

(che si legge logaritmo in base a del numero b) con a ≠ 0 è uguale all'esponente x al quale si deve elevare la base a per ottenere b.

ricordiamo inoltre, che il logaritmo

ha significato solo se l'argomento b è strettamente positivo cioè b > 0 mentre per b ≤ 0 non esistono logaritmi reali. I logaritmi in base a del numero b permettono di determinare la radice dell'equazione esponenziale del tipo:

a^x = b

I logaritmi che hanno per base il numero e sono detti logaritmi naturali o neperiani e il logaritmo naturale di un numero b maggiore di zero si scrive:

ln b

ed è uguale all'esponente x al quale si deve elevare il numero e per ottenere b.

ln b = x → e^x = b

Vediamo come le stesse definizioni di esponenziale e di logaritmo possono estendersi nell'insieme C:

Consideriamo un numero complesso z = a + bi e definiamo esponenziale complesso di z il numero complesso:

w = e^z

e applicando le usuali proprietà delle potenze si ha

w = e^z = e^{a + bi} = e^ae^bi = e^a(cos b + isin b)

Essendo cos b e sin b funzioni trigonometriche periodiche di periodo 2kΠ anche la funzione e^z è periodica di periodo 2kΠ.

Estendiamo ora la definizione dei logaritmi naturali sui numeri reali ai logaritmi naturali sui numeri complessi:

Dato il numero complesso z diverso da zero si definisce logaritmo in base e di z

ln z

il numero complesso w tale che

w = ln z → e^w = z

Se il numero complesso z è espresso in forma algebrica z = a + bi si ha

w = ln z = ln (a + bi) = ln (a) ⋅ ln (bi) = e^ae^bi

Se il numero complesso z è espresso in forma esponenziale z = |z|e^iΘ si ha

w = ln z = ln (|z|e^iΘ) = ln |z| + iΘ = ln |z| + i(arg(z) + 2kΠ)

con k ∈ Z. Pertanto il logaritmo complesso assume un'infinità di valori; se, però si pone la condizione:

0 ≤ Θ < 2Π

e quindi k = 0 il ln z assume un unico valore detto valore principale di ln z. E' importante notare che il valore principale del logaritmo naturale complesso di un numero complesso reale positivo coincide con il consueto logaritmo di un numero reale positivoreale. Ad esempio il valore principale del logaritmo del numero reale complesso z = 3 + 0i è

ln z = ln (3 + 0i) = ln 3 + 0i = ln 3

• Esempio 1: Calcoliamo il valore principale del logaritmo naturale di

  
  

  Essendo k = 0 si ottiene:

  

• Esempio 2: Risolviamo l'equazione e^z = -1 -i
  

  Calcoliamo il modulo e l'argomento del numero complesso -1 -i e scriviamolo in forma esponenziale:
  

  

  per cui l'equazione diventa

  

  e passando ai logaritmi naturali si ha

  

  per cui le soluzioni sono i numeri complessi della forma