Cosa devi sapere sui numeri complessi

Rappresentazione geometrica dei numeri complessi

Sappiamo che i numeri reali possono essere rappresentati su una retta orientata. Ogni numero reale a è rappresentato da un punto della retta e, viceversa, ogni punto della retta rappresenta un numero reale.

Si possono rappresentare geometricamente anche i numeri complessi? Poichè un numero complesso a + bi è individuato univocamente dalla sua parte reale a e dalla sua parte immaginaria b, cioè dalla coppia ordinata di numeri reali (a, b) è naturale rappresentarlo con un punto del piano cartesiano. In figura vedi ad esempio la rappresentazione del numero complesso z = 2 + 3i

Sull'asse delle x è rappresentata la parte reale, sull'asse delle y la parte immaginaria. Viceversa, ad ogni punto del piano corrisponde un ben determinato numero complesso. Esiste dunque una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e i numeri complessi.

Quando si rappresentano nel piano i numeri complessi si preferisce parlare, anzichè di piano cartesiano, di piano complesso o piano di Gauss; i due assi coordinati prendono il nome di asse reale (quello orizzontale) e asse immaginario (quello verticale).

Se l'immagine di un numero complesso z₁ si trova nel I quadrante avrà positiva sia la parte reale che la parte immaginaria.

Se l'immagine di un numero complesso z₂ si trova nel II quadrante avrà negativa la parte reale e positiva la parte immaginaria.

Se l'immagine di un numero complesso z₃ si trova nel III quadrante avrà negativa sia la parte reale che la parte immaginaria.

Se l'immagine di un numero complesso z₄ si trova nel IV quadrante avrà positiva la parte reale e negativa la parte immaginaria.

I numeri complessi reali, cioè i numeri complessi con parte immaginaria nulla, sono rappresentati dai punti (e solo dai punti) dell'asse reale mentre i numeri immaginari puri, cioè i numeri complessi con parte reale nulla, sono rappresentati dai punti (e solo dai punti) dell'asse immagirario.

Nel piano di Gauss due numeri complessi sono:

• uguali se hanno immagini coincidenti;

• coniugati se hanno immagini simmetriche rispetto all'asse reale;

• opposti se hanno immagini simmetriche rispetto all'origine.

La rappresentazione dei numeri complessi nel piano mette in luce un aspetto che li distingue in modo essenziale dai numeri reali. Dati due numeri reali distinti a e b possiamo sempre decidere se uno è maggiore dell'altro (se uno segue l'altro sulla retta orientata).

Dati due numeri complessi distinti non ha invece senso chiedersi se uno è maggiore dell'altro; non ha infatti senso, nel piano, chiedersi se un punto z₁ segua o preceda un punto z₂.

L'insieme C dei numeri complessi non è dunque un insieme ordinato; nell'estensione di R in C si perde qualcosa, si perde l'ordinamento.

La rappresentazione geometrica di un numero complesso z = a + bi permette di determinare la lunghezza del segmento di retta che congiunge l'origine O al punto z. Tale lunghezza viene detta modulo del numero complesso z = a + bi e si indica con il simbolo |z| ed è quindi un numero reale maggiore o uguale a zero. Infatti, per il teorema di Pitagora si ha:

Ad esempio il modulo del numero complesso z = 2 + 3i è

La nozione di modulo per i numeri complessi estende la ben nota nozione di modulo o valore assoluto per i numeri reali (e ciò giustifica l'uso dello stesso simbolismo). Se infatti la parte immaginaria è nulla si ha

Osserva che se k > 0 (k reale) esistono due numeri reali x tali che |x| = k.

mentre esistono infiniti numeri complessi z tali che |z| = k. Si tratta infatti di tutti i numeri complessi che hanno distanza k dall'origine, rappresentati quindi dai punti della circonferenza con centro nell'origine e raggio k.