Cosa devi sapere sui numeri complessi

Le equazioni di terzo grado in C

Nell'insieme dei numeri reali le equazioni di terzo grado:

ax³ + bx² + cx + d = 0

hanno sempre una sola soluzione oppure hanno tre soluzioni (distinte o eventualmente coincidenti). Se x₁ è l'unica soluzione di una generica equazione di terzo grado si ha:

(x - x₁)(ax² + b₁x + c₁) = 0

E per la legge dell'annullamento del prodotto possiamo scrivere:

(x - x₁) = 0 ∨ (a + b₁x + c₁) = 0

dove l'equazione di secondo grado ha necessariamente il discriminante minore di zero e quindi non ammette soluzioni. Ad esempio l'equazione:

x³ - 6x² + 13x - 10 = 0

avendo come unica soluzione x = 2 la possiamo scrivere:

(x - 2)(x² - 4x + 5) = 0

Cioè:

x - 2 = 0 ∨ x² - 4x + 5 = 0

E l'equazione di secondo grado non ha soluzioni nell'insieme dei numeri reali avendo il discriminate negativo.

Nell'insieme dei numeri complessi un'equazione di terzo grado a coefficienti reali:

az³ + bz² + cz + d = 0

ha sempre tre soluzioni: almeno una radice è sempre reale e le altre due possono essere reali o complesse coniugate. Ad esempio, l'equazione precedente x³ - 6x² + 13x - 10 = 0 nell'insieme dei numeri complessi:

z³ - 6z² + 13z - 10 = 0

continua ad avere per radice z = 2

(z - 2)(z² - 4z + 5) = 0

ma in più l'equazione di secondo grado:

z² - 4z + 5 = 0

ammette due soluzioni complesse coniugate che si possono ottenere con la solita formula risolutiva delle equazioni di secondo grado:

(z - 2 + i)(z - 2 - i) = 0

Pertanto, le tre soluzioni sono una reale complessa e due complesse coniugate:

z³ - 6z² + 13z - 10 = 0 → z₁ = 2; z₂ = - 2 + i; z₃ = - 2 - i

La conferma che un'equazione di terzo grado abbia in C esattamente tre soluzione avvenne nel XVI secolo dagli algebristi italiani Niccolò Tartaglia, Gerolamo Cardano e Rafael Bombelli che scoprirono la formula risolutiva di qualsiasi equazione di terzo grado in funzione dei coefficienti a, b, c, d.

A Bombelli si deve attribuire il merito di aver introdotto i numeri immaginari e i numeri complessi che chiamò quantità silvestri. Egli sapeva che una soluzione dell'equazione di terzo grado:

x³ - 15x - 4 = 0

è x = 4. Infatti:

4³ - 15 ⋅ 4 - 4 = 0

Ma applicando la formula risolutiva di una generica equazione di terzo grado otteneva un risultato diverso e irriducibile costituito dalla somma di due radicali doppi con radicando negativo:

Per superare questo ostacolo utilizzò un artificio indicando le quantità √-1 e -√-1 con i termini più di meno e meno di meno scrivendole con le abbreviazione pdm e mdm. In altre parole, Bombelli indicò con pdm il numero che oggi chiamiamo unità immaginaria i e con mdm il suo opposto -i. Inoltre, stabilí anche le regole di calcolo per queste nuove quantità:

Con queste regole e con la formula del cubo di un binomio trovò che:

E quindi potè scrivere:

Trovando in questo modo la soluzione che conosceva.

E tenendo presente che trovare le radici di una equazione e scomporre in fattori irriducibili un polinomio sono strettamente legate tra loro possiamo dire che:

• nell'insieme dei numeri reali un polinomio di terzo grado ha almeno uno zero reale k e quindi si fattorizza nel prodotto:

  (x - k)q(x)

  dove q(x) è un polinomio di secondo grado (che può essere o non essere riducibile).

• Nell'insieme dei numeri complessi un polinomio di terzo grado ha sempre tre zeri reali oppure uno reale e due complessi coniugati e quindi è sempre scomponibile in tre fattori lineari.