Cosa devi sapere sui numeri complessi

I numeri complessi e le formule di Eulero

La formula di Eulero:

e^iΘ = cos Θ + isin Θ

detta anche prima formula di Eulero rappresenta nel piano di Guaus un circonferenza unitaria e Θ è l'angolo che un segmento che collega l'origine a un punto della circonferenza unitaria forma con l'asse reale positivo, misurato in senso antiorario e in radianti. Ad esempio, nella seguente figura sono rappresentati alcuni numeri complessi, in forma algebrica e in forma esponenziale come punti di una circonferenza unitaria.

Ponendo Π al posto di Θ si ha:

e^iΠ = cos Π + isin Π

Essendo cos Π = -1 e sin Π = 0 si ha:

e^iΠ = -1

Cioè

e^iΠ + 1 = 0

Questa equazione è famosa perchè mette in relazione tra loro tre numeri fondamentali nella matematica: il numero di Nepero e, l'unità immaginaria i, il rapporto fra circonferenza e diametro Π.

Ponendo -Θ al posto di Θ si ha:

e^-iΘ = cos Θ - isin Θ

che è detta seconda formula di Eulero.

Ora, se si sommano membro a membro la prima e la seconda formula di Eulero si ottiene:

Questa relazione che permette di esprimere il coseno di un angolo mediante potenze del numero e ad esponente complesso è detta terza formula di Eulero.

Se si sottrae membro a membro la prima e la seconda formula di Eulero si ottiene:

Questa relazione che permette di esprimere il seno di un angolo mediante potenze del numero e ad esponente complesso è detta quarta formula di Eulero.