Cosa devi sapere sui numeri complessi

Forma trigonometrica di un numero complesso

Consideriamo nel piano di Gauss un numero complesso z = a + bi, la sua immagine P(a, b), il segmento OP, l'angolo Θ che il segmento OP forma con la direzione positiva dell'asse reale e indichiamo con r il modulo di z cioè la lunghezza del segmento OP.

Possiamo esprimere a e b in funzione di r e di Θ:

a = rcos Θ      b = rsin Θ

Pertanto, il numero complesso z = a + bi può essere scritto anche nella forma:

z = rcos Θ + irsin Θ = r(cos Θ + isin Θ)

(con r ≥ 0 e 0 ≤ Θ ≤ 2Π) detta forma trigonometrica del numero complesso. Nella forma trigonometrica ogni numero complesso z viene, quindi, individuato dal modulo di z (indicato con r) e dall'angolo Θ detto argomento del numero complesso indicato con la notazione:

arg(z)

L'angolo Θ viene espresso in radianti e non è definito quando z=0 mentre per z≠0 è determinato a meno di multipli di 2Π. Pertanto, due numeri complessi espressi in forma trigonometrica sono uguali se hanno moduli uguali e argomenti uguali, a meno di un multiplo intero di 2Π (perchè le funzioni seno e coseno sono periodiche con periodo 2Π). Inoltre, dalla forma trigonometrica dei numeri complessi si deduce che:

• Numeri complessi con ugual modulo stanno sulla stessa circonferenza con centro nell'origine O del piano di Gauss. Ad esempio:

  

• Numeri complessi con argomento uguale (a meno di multipli interi di 2Π) stanno sulla stessa semiretta avente origine in O. Ad esempio:

  

• Due numeri complessi coniugati hanno lo stesso modulo ma argomenti opposti. Ad esempio:

  

  Essendo:

  cos (-Θ) = cos Θ e sin (-Θ) = -sin Θ

  Si ha:

  

Vediamo come è possibile passare dalla forma algebrica alla forma trigonometrica e viceversa utilizzando le seguenti formule:

• Esempio 1: Scriviamo il numero complesso z = 1 - i in forma trigonometrica.

  Rappresentiamo nel piano di Gauss il numero complesso z:

  

  Come si vede l'immagine di z appartiene al quarto quadrante e quindi l'angolo Θ devrà essere:

  

  Calcoliamo il modulo r:

  

  Calcoliamo l'angolo Θ:

  

  Pertanto, la forma trigonometrica di z = 1 - i è:

  
• Esempio 2: Scriviamo in forma algebrica il numero complesso:

  Calcoliamo il coseno e il seno:

  Pertanto, la forma algebrica di z è:

  
• Esempio 3: Scriviamo il numero complesso z = 2 + 0i in forma trigonometrica.

  In questo caso, essendo nulla la parte immaginaria, z è un numero reale e la sua immagine nel piano di Gauss è sull'asse reale positivo a distanza 2 dall'origine e quindi il suo modulo è r = 2. Inoltre, l'angolo Θ devrà essere:

  Θ = 0 + 2Π

  Per cui la forma trigonometrica z = 2 + 0i è:

  z = 2(cos 0 + isin 0)

  Infatti, essendo cos 0 = 1 e sin 0 = 0 possiamo scrivere l'uguaglianza:

  z = 2(cos 0 + isin 0) = 2 + 0i = 2

• Esempio 4: Scriviamo il numero complesso z = 0 + 3i in forma trigonometrica.

  In questo caso, essendo nulla la parte reale, z è un numero immaginario puro e la sua immagine nel piano di Gauss è sull'asse immaginario positivo a distanza 3 dall'origine e quindi il suo modulo è r = 3. Inoltre, l'angolo Θ devrà essere:

  Θ = Π/2 + 2Π

  Per cui la forma trigonometrica z = 0 + 3i è:

  z = 3(cos Π/2 + isin Π/2)

  Infatti, essendo cos Π/2 = 0 e sin Π/2 = 1 possiamo scrivere l'uguaglianza:

  z = 3(cos Π/2 + isin Π/2) = 0 + 3i = 3i