Cosa devi sapere sui numeri complessi

Operazioni in C: addizioni e sottrazioni

L'operazione di addizione fra due numeri complessi si esegue applicando la stessa regola della somma algebrica fra due binomi nella variabile i. Pertanto, dati due numeri complessi:

z₁ = a + bi     z₂ = c + di

la loro somma

z = z₁ + z₂

è un numero complesso che ha come parte reale la somma algebrica delle due parti reali degli addendi, e come parte immaginaria la somma algebrica delle parti immaginarie degli addendi.

z = z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i

• Esempio 1: Calcolare (3 + 2i) + (1 - 3i).
  
  (3 + 2i) + (1 - 3i) = (3 + 1) + (2 - 3)i = 4 - 1i

Se i numeri da sommare hanno parte immaginaria nulla, cioè b=0 e d=0, si ritrova la "vecchia" addizione di numeri reali, infatti:

(a + 0i) + (c + 0i) = a + c + (0 + 0)i = a + c

• Esempio 2: Calcolare (4 + 0i) + (-1 + 0i).
  
  (4 + 0i) + (-1 + 0i) = (4 - 1) + (0 + 0)i = 3 + 0i = 3

Il numero complesso 0 + 0i, identificabile con il numero reale 0 (perchè la parte immaginaria è nulla), è l'elemento neutro per l'addizione, Infatti:

(a + bi) + (0 + 0i) = (a + 0) + (b + 0)i = a + bi

• Esempio 3: Calcolare (6 - 5i) + (0 + 0i).
  
  (6 - 5i) + (0 + 0i) = (6 + 0) + (-5 + 0)i = 6 - 5i

La somma di due numeri complessi coniugati è un numero reale, infatti:

(a + bi) + (a - bi) = (a + a) + (b - b)i = 2a + 0i = 2a

• Esempio 4: Calcolare (3 - 2i) + (3 + 2i).
  
  (3 - 2i) + (3 + 2i) = (3 + 3) + (-2 + 2)i = 6 + 0i = 6

La somma di due numeri complessi opposti è sempre uguale a 0, infatti:

(a + bi) + (-a - bi) = (a - a) + (b - b)i = 0 + 0i = 0

• Esempio 5: Calcolare (6 + 4i) + (-6 - 4i).
  
  (6 + 4i) + (-6 - 4i) = (6 - 6) + (4 - 4)i = 0 + 0i = 0

L'esistenza dei numeri complessi opposti permette di trasformare l'operazione di sottrazione in un'addizione cambiando il segno del sottraendo e quindi si esegue l'addizione del minuendo con l'opposto del sottraendo.

z₁ - z₂ = z₁ + (-z₂)

• Esempio 6: Calcolare (5 - 3i) - (2 - 1i).
  
  (5 - 3i) - (2 - 1i) = (5 - 3i) + [-(2 - 1i)] = (5 - 2) + (-3 + 1)i = 3 - 2i

La differenza di due numeri complessi coniugati è un numero immaginario, infatti:

(a + bi) - (a - bi) = (a - a) + (b + b)i = 0 + 2bi = 2bi

• Esempio 7: Calcolare (7 - 2i) - (7 + 2i).
  
  (7 - 2i) - (7 + 2i) = (7 - 7) + (-2 - 2)i = 0 - 4i = -4i

L'addizione di due numeri complessi z₁ e z₂ può essere interpretata geometricamente mediante la somma di due vettori. Nel piano di Gauss ogni numero complesso z = a + bi può essere interpretato geometricamente sia come un punto di coordinate (a, b) sia come un vettore avente origine in O e l'altro estremo nell'immagine di z individuato dalle coordinate del punto (a, b). Ad esempio il numero complesso z = 2 + 3i può essere interpretato geometricamente con il vettore che ha l'origine in O e l'estremità nel punto (2, 3) come si vede in figura.

Ora, dati i due numeri complessi

z₁ = (3 + 2i)     e     z₂ = (1 - 3i)

possiamo rappresentarli nel piano di Gauss con i due vettori z₁ e z₂ in figura

e applicare la regola del parallelogramma.

Il vettore somma z rappresenta graficamente non solo la somma dei due vettori z₁ e z₂ ma anche la somma dei due numeri complessi z₁ e z₂. Infatti, l'immagine di z ha come ascissa la somma delle ascisse di z₁ e z₂ e come ordinata la somma delle ordinate di z₁ e z₂.

Potendo trasformare l'operazione di sottrazione in un'addizione possiamo interpretare geometricamente la differenza tra due numeri complessi z₁ e z₂ sommando con la regola del parallelogramma i due vettori z₁ e -z₂ (opposto di z₂). Ad esempio la sottrazione

z₁ - z₂ = (3 + i) - (1 + 2i) = 2 - i

Può essere interpretata geometricamente con la somma dei due vettori z₁ e -z₂ come si vede in figura.

Nella figura precedente unendo i punti che rappresentano z₁ e z₂ si ottiene il palallelogramma avente per vertici O, z₂, z₁, z.

Pertanto la distanza tra i punti z₁ e z₂ risulta uguale al modulo del numero complesso z₁ - z₂.

Da ciò si intuisce che il modulo del numero complesso z₁ - z₂ cioè

|z₁ - z₂|

rappresenta, nel piano di Gauss, la distanza tra i punti z₁ e z₂.