Cosa devi sapere sui numeri complessi

Numeri complessi

Vediamo come possiamo definire un nuovo insieme numerico che sia un'estensione dell'insieme dei numeri reali e contenga il simbolo i. Consideriamo l'equazione

x² - 2x + 5 = 0

il cui discriminante è negativo Δ = - 4. Nell'insieme dei numeri reali questa equazione non ammette radici ma con l'introduzione dell'unità immaginaria possiamo scrivere:

e ottenere le due soluzioni

x₁ = 1 + 2i     x₂ = 1 - 2i

Ma quale significato numerico possiamo attribuire a queste due soluzioni che sono formate da un numero reale e da un numero immaginario? A questi nuovi tipi di numeri venne dato il nome di numeri complessi con la seguente definizione:

Chiameremo numero complesso ogni espressione formale del tipo

a + bi

dove a e b sono numeri reali e i è l'unità immaginaria. I numeri reali a e b si dicono rispettivamente parte reale e parte immaginaria del numero complesso (il numero reale b viene anche detto coefficiente immaginario). L'insieme dei numeri complessi si denota con il simbolo C:

C = {a + bi | a, b ∈ R e i² = -1}

Di solito, i numeri complessi si indicano con le ultime lettere minuscole dell'alfabeto; z, w, ...

Quando un numero complesso è scritto nella forma:

z = a + bi

si dice che è espresso in forma algebrica e per indicare le parti reale e immaginaria di z si scrive:

Re(z) = a; Im(z) = b

Ad esempio, z = 2 - 3i è un numero complesso con parte reale 2 e parte immaginaria -3, cioè:

Re(z) = 2; Im(z) = -3

I numeri complessi della forma:

z = a + 0i

sono detti numeri complessi reali e sono semplicemente indicati con a e dunque potremo identificare l'insieme dei numeri reali col sottoinsieme dei numeri complessi che hanno parte immaginaria nulla. Ad esempio, z = -5 + 0i = -5.

Analogamente i numeri complessi della forma:

z = 0 + bi

sono detti numeri immaginari puri e sono semplicemente indicati con bi. Ad esempio, z = 0 + 2i = 2i.

Così al posto di

z = 0 + 1i

scriveremo semplicemente i. Ad esempio z = 0 + 1i = i.

Pertanto l'insieme dei numeri complessi include come sottoinsiemi sia l'insieme dei numeri reali sia l'insieme dei numeri immaginari puri.

Due numeri complessi

z = a + bi;     w = c + di

sono uguali z = w se hanno rispettivamente uguali le parti reali e le parti immaginarie se cioè si ha

a = c     e     b = d

Due numeri complessi

z = a + bi;     w = c + di

sono opposti z = -w se hanno rispettivamente opposte le parti reali e le parti immaginarie se cioè si ha

a = - c     e     b = -d

Ad esempio z = 4 + 3i e w = -4 - 3i

Due numeri complessi

z = a + bi;     w = c + di

sono coniugati se hanno la stessa parte reale e parte immaginaria opposta se cioè si ha

a = c     e     b = -d

Ad esempio z = 4 + 3i e w = 4 - 3i

Di solito, il coniugato del numero complesso z = a + bi viene indicato con il simbolo

Un numero reale è il coniugato di se stesso.

Ad esempio z = 5 + 0i e w = 5 - 0i sono coniugati e entrambi rappresentano il numero reale 5 ne segue che se un numero complesso z = a + bi è coniugato di se stesso allora è necessariamente un numero reale. Se infatti si ha

a + bi = a - bi

allora devono necessariamente essere uguali le parti immaginarie cioè deve essere b = -b (dove b è un numero reale). Ne segue b=0.