Cosa devi sapere sui numeri complessi

Fattorizzazione di un polinomio in R

Abbiamo visto che un polinomio può sempre scomporsi nel prodotto di fattori lineari se accettiamo che i coefficienti di tali fattori appartengano all'insieme C dei numeri complessi. Quindi, in C, gli unici polinomi irriducibili sono quelli lineari. Ma se consideriamo polinomi a coefficienti reali e cerchiamo delle scomposizioni in cui entrino in gioco solo fattori a coefficienti reali cosa possiamo dire?

Sappiamo che esistono dei polinomi di secondo grado che sono certamente irriducibili in R, ad esempio il binomio

x² + 1

Tale binomio si fattorizza in C così

x² + 1 = (x + i)(x - i)

ma in R non c'è nulla da fare.

Quindi è un fatto che in R ci siano polinomi irriducibili di secondo grado oltre, ovviamente, a quelli di primo grado. Possono esistere polinomi irriducibili di terzo grado? No, non possono esistere, perchè sappiamo che un polinomio di terzo grado a coefficienti reali ha almeno uno zero reale k e quindi si fattorizza nel prodotto

(x - k)q(x)

dove q(x) è un polinomio di secondo grado (che può essere o non essere riducibile). E' chiaro inoltre che qualsiasi polinomio di grado dispari, avendo uno zero reale, è riducibile cioè è fattorizzabile nel prodotto

(x - k)g(x)

dove g(x) è un polinomio di grado pari. Il nocciolo del problema riguarda dunque i polinomi di grado pari. Ad esempio, esistono polinomi di quarto grado che siano irriducibili? A questa domanda, allo stato, non sappiamo rispondere. Sappiamo, certo, che esistono polinomi di quarto grado che non hanno zeri reali, ad esempio

x⁴ + 1

(che assume solo valori positivi) ma, per il quarto grado, la non esistenza di zeri non implica l'irriducibilità (come, invece, avviene per il secondo grado). E infatti il nostro binomio si fattorizza così

dove i due fattori di secondo grado hanno necessariamente discriminante negativo. Ma sarò sempre così? Potremo sempre scomporre un polinomio di grado pari maggiore di 2? La risposta è affermativa (almeno in linea di principio); sussiste infatti il seguente teorema

Teorema di fattorizzazione in R

Ogni polinomio p(x) a coefficienti reali si scompone nel prodotto di fattori di primo o di secondo grado a coefficienti reali, dove i fattori di secondo grado sono irriducibili (cioè hanno discriminante negativo).

Dal teorema segue, se rifletti, che gli unici polinomi a coefficienti reali che siano irriducibili in R sono quelli di primo e secondo grado.

La dimostrazione del teorema è semplice e si basa sul teorema fondamentale dell'algebra che rappresenta il risultato centrale della teoria delle equazioni algebriche e da cui derivano tutti gli altri risultati. Sia n il grado di p(x); allora p(x) ha n zeri complessi (contati con il loro ordine di molteplicità) e può scomporsi nel prodotto di n fattori lineari a coefficienti complessi. Poiché p(x) è, per ipotesi, a coefficienti reali, gli eventuali zeri che non sono reali compaiono sempre a coppie di numeri coniugati. Moltiplicando tra loro i fattori di ciascuna di tali coppie si ottengono dei prodotti del tipo

e, sviluppando si ha

Posto z = a + bi (con a e b numeri reali) si trova

e quindi il fattore di secondo grado

è a coefficienti reali ed è ovviamente irriducibile in R. Ne segue che dalla fattorizzazione in C di p(x) può sempre ricavarsi una fattorizzazione in R in cui compaiono solo fattori irriducibili di primo o secondo grado, come volevamo dimostrare.

Il teorema che abbiamo appena dimostrato è un teorema di pura e semplice esistenza cioè un teorema che afferma l'esistenza di una certa fattorizzazione ma non fornisce un algoritmo per ottenere l'effettiva fattorizzazione di un polinomio. Perciò il problema della fattorizzazione rimane in generale arduo ed è chiaramente legato alla possibilità di esprimere in forma simbolica gli zeri di un polinomio. Sul piano teorico, però, abbiamo finalmente un quadro completo: i polinomi di primo grado e i polinomi di secondo grado a discriminate negativo hanno lo stesso ruolo, nell'algebra dei polinomi, dei numeri primi in aritmetica.