Cosa devi sapere sui numeri complessi

Il teorema fondamentale dell'algebra

Come abbiamo costatato nell'insieme dei numeri complessi ogni equazione di secondo o di terzo grado con coefficienti reali o immaginari è sempre completamente risolubile e questo risultato può essere generalizzato grazie al teorema di Gauss:

Teorema fondamentale dell'algebra:

Nell'insieme C ogni equazione algebrica a coefficienti reali o complessi:

a_nzⁿ + a_n-1z^n-1 + ... + a₁z + a₀= 0

ha tante radici (eventualmente coincidenti) quante il suo grado.

Questo teorema è importante perchè permette di scoprire che nell'insieme C c'è corrispondenza tra il numero delle soluzioni di un'equazione e il suo grado e questa regolarità non esiste nell'insieme R. Bisogna, però, tener presente che questo teorema è di pura e semplice esistenza, cioè garantisce che un'equazione di grado n ha esattamente n radici ma non fornisce un algoritmo per ottenerle effettivamente. Per le equazioni di secondo, terzo e quarto grado esistono formule risolutive per radicali in funzione dei coefficienti delle equazioni mentre per le equazioni di grado superiore al quarto è stato dimostrato da Paolo Ruffini (1765-1822) e da Niels Abel (1802-1829) l'impossibilità dell'esistenza di una formula generale per radicali.

Abbiamo visto che per le equazioni algebriche di secondo e di terzo grado a coefficienti reali se z₁ è una radice complessa dell'equazione, allora anche il suo coniugato lo è. Si può dimostrare che ciò è vero anche per le equazioni algebriche di grado maggiore di 3 a coefficienti reali.

Teorema della radici coniugate

Se z₁ è una radice complessa di un'equazione algebrica a coefficienti reali allora anche il suo coniugato lo è.

Ora, se z₁ è un numero complesso reale si ha

ma, se z₁ è un numero complesso non reale, si ha evidentemente

Ciò ha una notevole conseguenza: le radici complesse non reali di un'equazione algebrica a coefficinti reali sono sempre a coppie e le radici di ogni coppia sono distinte. Quindi

Un'equazione algebrica a coefficienti reali, se ha radici complesse non reali, ne ha sempre un numero pari.

• Esempio 1: Risolviamo in C l’equazione di quarto grado z⁴ - z² - 2 = 0
  
  In forza del teorema fondamentale dell'algebra sappiamo che l'equazione ha quattro soluzioni complesse. In questo caso è anche facile determinarle. Si intuisce che i è una radice dell'equazione, infatti:

  i⁴ - i² - 2 = 1 - (-1) - 2 = 0

  Inoltre, per il teorema delle radici coniugate, anche -i è necessariamente una radice. Quindi z⁴ - z² - 2 è divisibile per:

  (z + i)(z - i) = z² + 1

  Eseguendo la divisione

  z⁴ - z² - 2 : z² + 1

  si ottiene z² - 2. L'equazione iniziale è dunque equivalente a:

  (z² + 1)(z² - 2) = 0

  e le quattro soluzioni sono:

  ±i; ±√2

• Esempio 2: Sapendo che -1 + i è una radice dell'equazione a coefficienti reali

  z⁴ + 2z³ - z² - 6z - 6 = 0

  determiniamo le altre radici.
  
  L'equazione avendo la radice complessa -1 + i avrà per radice anche la sua coniugata -1 - i e quindi il polinomio al primo membro è divisibile per:

  (z + 1 - i)(z + 1 + i) = z² + 2z + 2

  Eseguendo la divisione si trova:

  (z⁴ + 2z³ - z² - 6z - 6) : (z² + 2z + 2) = z² - 3

  Quindi l'equazione iniziale equivale all'equazione:

  (z² - 3)(z + 1 - i)(z + 1 + i) = 0

  che ha le quattro radici:

  -1 ±i; ±√3

Dal teorema fondamentale dell’algebra e dal teorema del fattore discende un altro importante risultato:

Teorema di fattorizzazione in C:

Ogni polinomio di grado n a coefficienti reali o complessi

p(z) = a_nzⁿ + a_n-1z^n-1 + ... + a₁z + a₀

si fattorizza in un sol modo, in C, nel prodotto di n fattori lineari; si ha infatti

p(z) = a_n(z - z₁) (z - z₂) ... (z - z_n)

dove z₁, z₂, ..., z_n sono numeri complessi.

La dimostrazione si basa sull'idea di abbassare via via di grado il polinomio p(z) mediante opportune divisioni fino ad arrivare ad un polinomio di grado zero cioè ad una costante.

• Primo passo.
  
  Per il teorema fondamentale dell'algebra esiste un numero complesso z₁ tale che

  p(z₁) = 0

  In virtù del teorema del fattore, p(z) è divisibile per (z - z₁); quindi

  p(z) = (z - z₁)Q₁(z)

  dove Q₁(z) è un polinomio a coefficienti complessi di grado n - 1.

• Secondo passo.
  
  Se n - 1 > 0 possiamo riapplicare i due teoremi al polinomio Q₁(z) ottenendo

  Q₁(z) = (z - z₂)Q₂(z)

  dove z₂ è una radice complessa dell'equazione Q₁(z)=0 e Q₂(z) è un polinomio di grado n - 2. Quindi si ha

  p(z) = (z - z₁)Q₁(z) = (z - z₁)(z - z₂)Q₂(z)

• N-esimo passo.
  
  Continuando questo stesso procedimento arriveremo, dopo n passi, alla fattorizzazione

  p(z) = (z - z₁)(z - z₂) ... (z - z_n)Q_n(z)

  dove Q_n(z) è un polinomio di grado n-n=0, cioè una costante complessa k. Quindi

  

  Eseguendo normalmente il prodotto ora indicato, si trova che il termine di grado n è kzⁿ; ma il coefficiente di zⁿ del polinomio p(z) è a_n quindi, necessariamente, deve essere k=a_n e il teorema è completamente dimostrato.

Occorre tener presente che nella fattorizzazione

p(z) = a_n(z - z₁) (z - z₂) ... (z - z_n)

non è detto che gli zeri z₁, z₂,..., z_n siano tutti distinti. Ad esempio la fattorizzazione di

p(z) = z³ - 7z² +15z - 9

è

p(z) = (z - 1)(z - 3)(z - 3)

dove lo zero 3 ha molteplicità 2 e quindi viene contato due volte. Se ogni zero di un polinomio p(z) viene contato un numero di volte pari al suo ordine di molteplicità, il teorema può essere così riformulato:

Ogni polinomio di grado n ha, in C, esattamente n zeri.

• Esempio 3: Consideriamo la fattorizzazione del polinomio z⁴ - z² - 2 in C, in R e in Q
  
  Nell'insieme C si fattorizza in quattro fattori lineari:

  (z + i)(z - i)(z - √2)(z + √2)

  Nell'insieme R si fattorizza in tre fattori; uno di secondo grado e due lineari:

  (z² + 1)(z - √2)(z + √2)

  Nell'insieme Q si fattorizza in due fattori entrambi di secondo grado:

  (z² + 1)(z² - 2)

  La scomposizione di un polinomio in fattori irriducibili è unica una volta che sia stato fissato l’insieme dei coefficienti dei fattori ma, se tali insiemi sono diversi, anche le fattorizzazioni possono esserlo.