Cosa devi sapere sui numeri complessi

L'estensione del concetto di numero

Più volte, nel corso dei secoli, è stato necessario estendere il concetto di numero e quindi di ampliare l'insieme numerico di riferimento. E' stato fatto passando:

• dal numero naturale al numero intero relativo e quindi ampliando l'insieme N dei numeri naturali introducendo l'insieme Z dei numeri interi relativi.
  
  Sono stati introdotti i numeri interi relativi per poter eseguire sempre l'operazione di sottrazione e ciò ha permesso di invertire l'operazione di addizione e di poter risolvere equazioni di primo grado del tipo:

  x + 1 = 0

  Questa equazione non è risolvibile se operiamo nell'insieme N dei numeri naturali. Per trovare la soluzione

  x = -1

  dobbiamo operare nell'insieme Z dei numeri interi cioè in una estensione di N.

  

• dal numero intero relativo al numero razionale e quindi ampliando l'insieme Z dei numeri interi relativi introducendo l'insieme Q dei numeri razionali.
  
  Sono stati introdotti i numeri razionali per poter eseguire sempre l'operazione di divisione e ciò ha permesso di invertire l'operazione di moltiplicazione e di poter risolvere equazioni di primo grado del tipo:

  2x + 1 = 0

  Questa equazione non è risolvibile se operiamo nell'insieme Z dei numeri interi relativi. Per trovare la soluzione

  

  dobbiamo operare nell'insieme Q dei numeri razionali cioè in una estensione di Z.

  

• dal numero razionale al numero reale e quindi ampliando l'insieme Q dei numeri razionali introducendo l'insieme R dei numeri irrazionali.
  
  Sono stati introdotti i numeri reali per poter risolvere equazioni di secondo grado del tipo:

  x² - 2 = 0

  Questa equazione non è risolvibile se operiamo nell'insieme Q dei numeri razionali. Per trovare la soluzione

  

  dobbiamo operare nell'insieme R dei numeri razionali cioè in una estensione di Q.

  

Ogni successiva estensione dell'insieme numerico è stata fatta in modo che l'insieme numerico più esteso contenesse sempre un sottoinsieme che potesse essere identificato con l'insieme numerico originario; e che le operazioni applicate in questo sottoinsieme fossero le stesse dell'insieme originario. Inoltre, è stato applicato il principio di permanenza delle proprietà formali cioè nell'insieme numerico più esteso le operazioni sono state definite in modo da conservare le stesse proprietà di cui tali operazioni già godevano nell'insieme originario.

Nonostante tutti questi ampliamenti degli insiemi numerici nel XVI secolo fu necessario ampliare anche l'insieme dei numeri reali perchè esistono semplici equazioni che non hanno soluzioni reali. Ad esempio l'equazione di secondo grado

x² + 1 = 0

non è risolvibile se operiamo nell'insieme R dei numeri reali. Non esiste infatti un numero reale il cui quadrato sia uguale a -1. In generale, il quadrato di un numero reale è sempre non negativo. Ciò significa che non esistono radici quadrate algebriche reali di un numero negativo e, come conseguenza, un'equazione di secondo grado, se ha il discriminante Δ negativo, non ha soluzioni. Nell'insieme R c'è ancora una situazione di insufficienza. Pertanto si decise di operare un'ulteriore estensione dell'insieme numerico in modo da eliminare anche questa insufficienza. Fu introdotto un nuovo numero, e dunque un nuovo simbolo, chiamato unità immaginaria e indicato con la lettera minuscola

i

tale che

i² = -1    e quindi    i = √-1

Però la sola introduzione dell'unità immaginaria i e la possibilità di poter utilizzare numeri immaginari come ad esempio

2i;     -3i;     5i;     √2 i

non è sufficiente per definire tutte le caratteristiche che deve avere un sistema numerico coerente che si configuri come una vera e propria estensione dell'insieme R dei numeri reali. Il nuovo insieme numerico deve contenere un sottoinsieme identificabile con R, le nuove operazioni devono essere compatibili con le vecchie operazioni sui numeri reali e, infine, devono conservarsi le solite proprietà formali delle operazioni (proprietà commutativa, associativa, e distributiva, dell'addizione e della moltiplicazione).