Geometria dei vettori

Moltiplicazione di un vettore per un numero reale

Se si moltiplica un vettore a per un numero reale m diverso da zero si ottiene un vettore ma che ha:

• La stessa direzione di a;

• un modulo |m| volte il modulo di a;

• lo stesso verso di a se m è positivo, verso opposto di a se m è negativo.

In altre parole, nella moltiplicazione di un vettore a per un numero reale m il vettore viene dilatato o compresso di un fattore |m|, e se m è minore di zero il suo verso viene invertito. In particolare se m=-1 si ottiene il vettore ma che è l'opposto di a cioè -a, se m=0 si ottiene il vettore ma che è il vettore nullo cioè 0. Se a e b sono vettori e m e n sono numeri reali allora vale la:

• proprietà commutativa;

  ma = am

• proprietà associativa;

  m(na) = (mn)a

• proprietà distributiva rispetto alla somma di due numeri reali;

  (m + n)a = ma + na

• proprietà distributiva rispetto alla somma di due vettori.

  m(a + b) = ma + mb

Come si è visto l'operazione di moltiplicazione di un vettore per un numero reale, cioè per una grandezza scalare non opera su due vettori come nel caso dell'addizione e della sottrazione tra vettori, e quindi non è un'operazione tra due grandezze vettoriali. Per questo motivo l'operazione di moltiplicazione tra un vettore e uno scalare viene detta esterna all'insieme dei vettori.

La moltiplicazione di un vettore per uno scalare ha un ruolo importante perchè permette di applicare le stesse regole del calcolo letterale al calcolo vettoriale. Ad esempio, se

a = 2b e c = 3b

Possiamo scrivere

d = a + c = 2b + 3b = 5b

Inoltre, la moltiplicazione di un vettore per uno scalare permmette anche di stabilire un criterio di parallelismo tra due vettori. Se consideriamo due vettori a e b non nulli e tali che:

a = mb

dove m è un numero reale allora in base alla definizione della moltiplicazione di un vettore per uno scalare i vettori a e b devono avere la stessa direzione e quindi devono essere tra loro paralleli

Possiamo quindi dire:

due vettori non nulli a e b sono paralleli se e solo se esiste un numero reale m tale che a = mb