Geometria dei vettori

Dimostrazioni geometriche con vettori

Con le proprietà dei vettori e con le operazioni tra vettori è possibile dimostrare teoremi di geometria piana euclidea. Come vedremo queste dimostrazioni sono molto diverse dalle usuali dimostrazioni euclidee e in alcuni casi sono anche più semplici. Abbiamo già visto che le nozioni di lunghezza di un segmento, pependicolarità di due segmenti, parallelismo tra due segmenti e l'ampiezza di un angolo tra due segmenti possono essere descritte mediante il prodotto scalare tra due vettori. Vediamo allora alcune di queste dimostrazioni.

• Teorema della disuguaglianza triangolare.

  Nella geometria euclidea: in ogni triangolo, non degenere, ciascun lato è minore degli altri due e maggiore della loro differenza.
  
  Questo teorema rappresenta la condizione necessaria e sufficiente per garantire l'esistenza di un triangolo.
  
  Nella geometria dei vettori sono due le condizioni affinchè tre vettori formano un triangolo e ciò dipende da come sono orientati i tre vettori:

  1. due vettori hanno un punto finale comune;

  2. nessuno dei vettori ha un punto finale comune.

     

  Nel primo caso uno dei vettori è uguale alla somma degli altri due nel secondo caso la somma risultante dei tre vettori è nulla.

• Teorema di Pitagora.

  Consideriamo tre vettori a, b e c tali da formare un triangolo rettangolo e sia il vettore c opposto all'angolo retto:

  

  Come si vede si possono presentare due casi:

  c = a + b

  oppure

  c = a - b

  Per entrambi i casi consideriamo il quadrato dei due membri dell'uguaglianza e ciò equivale a calcolare il prodotto scalare tra vettori.

  Primo caso

  

  Secondo caso

  

  In entrambi i casi si ottiene la relazione pitagorica.

• Teorema del coseno.

  Consideriamo tre vettori a, b e c tali da formare un triangolo non rettangolo e sia il vettore c opposto all'angolo α:

  

  Possiamo scrivere:

  c = a - b

  Eleviamo al quadrato i due membri dell'uguaglianza:

  

• Primo teorema di Euclide.

  Ricordiamolo: in ogni triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.
  
  Pertanto, se a è il cateto, c l'ipotenusa, d la proiezione del cateto si ha:

  a² = c ⋅ d

  Consideriamo tre vettori a, b e c tali da formare un triangolo rettangolo e sia c opposto all'angolo retto, sia il vettore d la proiezione di a su c e sia il vettore e perpendicolare a c come si vede in figura. all'angolo α:

  

  I vettori d e c sono collineari e quindi il loro prodotto scalare è:

  d ⋅ c = |d||c|

  Inoltre, come si vede dalla figura, si ha:

  c = a + b;     d = a + e

  Possiamo quindi scrivere:

  |d||c| = (a + e)(a + b)

  Cioè:

  |d||c| = a² + ab + e(a + b)

  Ora, nel secondo membro dell'uguaglianza si ha:

  ab = 0 (vettori ortogonali)
  

  e(a + b) = e ⋅ c = 0 (vettori ortogonali)

  E quindi si ottiene:

  |d||c| = a²

  cioè

  a² = c ⋅ d

• Teorema di Talete sul semicerchio.

  Ricordiamolo: un triangolo inscritto in una semicirconferenza, con lato coincidente con il diametro e il terzo vertice appartenente alla circonferenza stessa, è un triangolo rettangolo.
  
  Sia a il vettore che unisce il centro della circonferenza con un estremo del diametro, sia -a il vettore che unisce il centro della circonferenza con l'altro estremo del diametro, sia b il vettore che unisce il centro della circonferenza con il terzo punto della circonferenza e siano c e d i due vettori che uniscono gli estremi del diametro con il terzo punto sulla circonferenza.

  

  Per dimostrare il teorema bisogna mostrare che i vettori c e d siano perpendicolari e ciò si verifica se il loro prodotto scalare si annulla. Dalla figura si vede che:

  c = b - (-a) = b + a

  e

  d = b - a

  Possiamo allora scrivere:

  c ⋅ d = (b + a)(b - a)

  Sviluppando il secondo membro si ha:

  c ⋅ d = b² - b ⋅ a + a ⋅ b - a²

  Semplificando si ottiene:

  c ⋅ d = b² - a²

  Cioè

  c ⋅ d = b - a = 0

  perchè b = a essendo entrambi raggi della circonferenza.

• Teorema dei punti medi di un triangolo.

  Ricordiamolo: il segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo è uguale alla metà del terzo lato.
  
  Sia ABC un triangolo costituito dai vettori:

  

  e siano M e N rispettivamente i punti medi di BA e AC e indichiamo con a il vettore che ha la coda in M e la punta in A e con b il vettore che ha la coda in A e la punta in N.

  

  Come si puù vedere dalla figura per costruzione si ha:

  

  Inoltre, per la regola punta-coda si ha:

  

  E quindi