Geometria dei vettori

Prodotto scalare nel piano cartesiano

Consideriamo due vettori nel piano cartesiano identificati dalla loro combinazione lineare:

a = x₁i + y₁j     b = x₂i + y₂j

e calcoliamo il loro prodotto:

E essendo:

Si ha:

Il secondo membro x₁x₂+y₁y₂ è un numero e quindi una grandezza scalare. Questo significa che il prodotto scalare di due vettori espresso mediante le loro combinazioni lineari è uguale alla somma dei prodotti delle loro componenti scalari. Ad esempio, il prodotto scalare dei vettori:

a = 3i + j     b = i + 2j

è:

ab = 3 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 = 5

Le due formule che esprimono il prodotto scalare tra due vettori:

Sono entrambe valide come si può dimostrare. Considerando nel piano cartesiano i due vettori a e b e siano Θ₁, Θ₁ gli angoli che i vettori formano con il semiasse positivo delle x e sia α l'angolo compreso tra i due vettori:

Applicando le formule trigonometriche sul triangolo rettangolo possiamo scrivere:

E sostituendo si ottiene:

Utilizzando le due formule del prodotto scalare tra due vettori possiamo determinare l'angolo compreso tra i due vettori:

Ad esempio, Calcoliamo l'angolo compreso tra i due vettori:

a = 3i + j     b = i + 2j

Applicando la formula si ottiene: