Geometria dei vettori

Traslazione

Un procedimeno che fa corrispondere a ogni punto P del piano un altro punto P' dello stesso piano prende il nome di trasformazione geometrica o semplicemente trasformazione del piano su se stesso. Il punto P' prende il nome di trasformato o immagine di P. Se l'immagine di P coincide con P si dice che P è un punto unito o fisso della trasformazione. In pratica, applicando una trasformazione ai punti di una figura data F otteniamo come immagini i punti di un'altra figura F'. Ad esempio, l'ingrandimento di una figura è una trasformazione geometrica; in figura il triangolo ABC è stato trasformato nel triangolo A'B'C' che è un ingrandimento del triangolo ABC e esiste una corrispondenza biunivoca che associa a ogni punto di ABC un punto di A'B'C'.

Le proprietà geometriche di una figura (lunghezza dei segmenti, ampiezza degli angoli, parallelismo, area, ecc.) che si conservano anche nella figura trasformata vengono dette invarianti della trasformazione, quelle che invece cambiano prendono il nome di varianti della trasformazione. Ad esempio, nell'ingrandimento del triangolo ABC in A'B'C' della precedente figura gli invarinti della trasformazione sono le ampiezze degli angoli, l'orientamento dei punti e i rapporti tra i lati mentre sono varianti la lunghezza dei lati e naturalmente le aree. Nella matematica moderna il concetto di trasformazione ha un ruolo molto importante perchè permette di osservare gli oggetti geometrici con un punto di vista diverso studiando quali proprietà si conservano e quali si perdono rispetto a una data trasformazione. Il matematico tedesco Felix Klein (1849-1925) in un famoso discorso tenuto nel 1872 definito programma di Erlangen propose di considerare la geometria come lo studio delle proprietà delle figure che non cambiano rispetto a un certo insieme di trasformazioni. Una trasformazione che ha come invariate la distanza tra due punti è detta trasformazione isometrica o semplicemente isometria. In alre parole, se P e Q sono due qualsiasi punti del piano e P' e Q' i loro trasformati con una isometria allora si ha PQ=P'Q'.

Le isometrie sono anche chiamate movimenti rigidi perchè non alterano la forma e l'estensione di una figura e quindi due figure che si corrispondono con una isometria sono tra loro congruenti. La traslazione è una particolare trasformazione isometrica che oltre a conservare la distanza conserva anche la direzione tra punti corrispondenti. E' naturale quindi mettere in gioco, nella sua definizione, il concetto di vettore.

Sia a un vettore del piano, chiameremo traslazione di vettore a la trasformazione che associa a ogni punto P del piano un punto P' tale che si abbia l'uguaglianza

e quindi, abbia la stessa direzione, lo stesso verso e lo stesso modulo di a.

Se il vettore che individua la traslazione fosse il vettore nullo ogni punto del piano rimarrebbe fermo cioè sarebbe un punto unito. Questa trasformazione viene detta trasformazione identica o identità. Consideriamo una taslazione di vettore a applicata a un poligono e vediamo quali sono gli invarianti di una traslazioni.

Gli invarianti sono:

• la lunghezza dei segmenti;

• l'ampiezza degli angoli;

• le direzioni;

• l'incidenza tra le rette;

• il parallelismo;

• l'orientamento dei punti.