Geometria dei vettori

Prodotto scalare di due vettori

Dati due vettori a e b e l'angolo α compreso fra essi

il prodotto dei moduli dei due vettori per il coseno dell'angolo compreso fra essi viene detto prodotto scalare oppure prodotto interno dei due vettori e indicato con:

a ⋅ b = |a||b|cos α

Il prodotto scalare di due vettori è quindi una grandezza scalare cioè un numero. Se i vettori a e b non sono nulli il valore del loro prodotto scalare è:

• maggiore di zero;
  
  Se l'angolo fra a e b è acuto essendo il coseno di un angolo acuto maggiore di zero.

  

• uguale a zero;
  
  Se l'angolo fra a e b è retto essendo il coseno di un angolo retto uguale a zero.

  

  Ne segue che il prodotto scalare nullo è una condizione necessaria di ortogonalità tra due vettori.

• minore di zero.
  
  Se l'angolo fra a e b è ottuso essendo il coseno di un angolo ottuso minore di zero.

  

Esaminiamo alcuni casi particolari:

• Se almeno uno dei due vettori è nullo anche il prodotto scalare è nullo.

  Se a = 0 oppure b = 0 allora a ⋅ b = 0

• Se due vettori sono collineari e equiorientati il loro prodotto scalare è uguale al prodotto dei moduli dei due vettori. In questo caso l'angolo tra i due vettori è 0° e il cos 0° è uguale a 1.

  

• Se due vettori sono collineari ma con versi opposti il loro prodotto scalare è uguale al prodotto dei moduli dei due vettori preceduto dal segno meno. In questo caso l'angolo tra i due vettori è 180° e il cos 180° è uguale a -1.

• Se il vettore a non è nullo allora il prodotto scalare con se stesso è uguale al quadrato del suo modulo.

  

  Ne segue che il prodotto scalare di un vettore per se stesso permette di calcolare il modulo del vettore cioè la lunghezza del vettore:

  

• Se a, b e c sono tre vettori il prodotto

  a ⋅ b ⋅ c

  non è un prodotto scalare poichè il prodotto scalare di due vettori non è un vettore ma un numero reale.

Per il prodotto scalare vale la:

• proprietà commutativa;

  |a|(|b|cos α) = (|a|cos α)|b|

  I termini |a|cosα e |b|cosα hanno un particolare significato geometrico:
  

  |a|cos α rappresenta la componente di a sulla retta che contiene b mentre, |b|cosα rappresenta la componente di b sulla retta che contiene a.

  

• proprietà distribuitiva.

  a(b + c) = ab + ac

• proprietà distribuitiva.

  m(a + b) = (ma)b + a(mb)