Geometria dei vettori

Addizione di vettori

Per capire il senso dell'addizione vettoriale si deve tenere presente che un vettore rappresenta uno spostamento e eseguendo due spostamenti uno di seguito all'altro, il risultato complessivo (cioè la somma dei due spostamenti) è ancora uno spostamento che va dal punto iniziale del primo spostamento al punto finale del secondo spostamento. Pertanto, due o più vettori si possono addizionare e la loro somma è ancora un vettore chiamato vettore somma o vettore risultante. Naturalmente nella somma di due o più vettori, bisogna tener conto, oltre alle loro intensità anche le direzioni e i versi. Consideriamo i tre casi possibili:

• Vettori con la stessa direzione e lo stesso verso.
  
  La somma di due vettori che hanno la stessa direzione e lo stesso verso è un vettore che ha la stessa direzione e lo stesso verso con modulo uguale alla somma dei moduli. Ad esempio, in figura il vettore a ha modulo +5, il vettore b ha modulo +3 e il vettore somma a+b ha modulo +8.

  

• Vettori con la stessa direzione ma versi opposti.
  
  La somma di due vettori che hanno la stessa direzione ma versi opposti è un vettore nella stessa direzione che ha il verso del vettore di modulo maggiore e modulo uguale alla differenza dei due moduli. Ad esempio, in figura il vettore a ha modulo +5, il vettore b ha modulo -3 e il vettore somma a+b ha modulo +2.

  

  Ne segue che la somma di due vettori opposti è un vettore nullo o vettore zero cioè un vettore in cui il segmento orientato ha gli estremi coincidenti e quindi ha modulo zero e non ha alcuna direzione specifica e quindi nemmeno un verso. Il vettore nullo viene indicato con il simbolo 0.

• Vettori con diversa direzione.
  
  La somma di due vettori che non hanno la stessa direzione può essere eseguita graficamente con due metodi equivalenti:

  1. Metodo punta-coda
     
     Nella somma di due vettori con diversa direzione si disegnano i vettori consecutivamente, facendo coincidere la coda del secondo vettore con la punta del primo rispettando la direzione e il modulo del vettore e unendo la coda del primo vettore con la punta del secondo si ottiene il vettore risultante. Ad esempio, se vogliamo sommare i due vettori a e b in figura:

     

     Tracciamo il vettore equipollente di b consecutivamente al vettore a e tracciamo il vettore somma c avente la coda coincidente con la coda di a e la punta coincidende con quella di b.

     

  2. Metodo del parallelogramma
     
     Nella somma di due vettori con diversa direzione si trasporta il secondo vettore parallelamente a se stesso in modo da far coincidere la sua coda con quella del primo vettore. Poi si costruisce il parallelogramma che ha per lati i due vettori, la diagonale del parallelogramma che parte dalla coda comune dei due vettori rappresenta il vettore somma o vettore risultante. Ad esempio, se vogliamo sommare i due vettori a e b in figura:

     

     Tracciamo il vettore equipollente di b in modo da far coincidere la sua coda con quella del vettore a, poi dalla punta di ciascun vettore tracciamo la retta parallela all'altro. I due vettori e le rette parallele formano un parallelogramma, il vettore avente la coda coicidente con i vettori e la punta nell'intersezione delle rette parallele è il vettore somma c.