Geometria dei vettori

Versori

Quando si opera nel piano cartesiano, si preferisce introdurre due vettori unitari con la coda nell'origine e ortogonali tra loro chiamati versori e indicati con le lettere i e j. Il versore i ha la direzione e il verso del semiasse x positivo mentre il versore j ha la direzione e il verso del semiasse y positivo. L'utilità dei versori è quella di poter definire ogni vettore del piano mediante una combinazione lineare di i e j. Ad esempio, i vettori in figura:

Possono essere espressi con le seguenti combinazioni lineari:

a = 4i + 2j     b = -3i + j

dove il vettore a è uguale a quattro volte il versore i più 2 volte il versore j e il vettore b è uguale a meno tre volte il versore i più 1 volta il versore j.

Come si vede, se il vettore ha la coda nell'origine le componenti cartesiane del vettore coincidono con le coordinate cartesiane della punta del vettore. Vediamo ora il caso di un vettore che non ha la coda nell'origine ad esempio, in figura il vettore a ha la coda in (x₁, y₁) e la punta in (x₂, y₂):

In tal caso possiamo definire il vettore con la seguente combinazione lineare:

E inserendo i valori delle coordinate si ottiene:

Cioè si ottiene la combinazione lineare del vettore equipollente di a con la coda nell'origine questo significa che nel piano cartesiano due vettori sono equipollenti se hanno la stessa combinazione lineare. In pratica, i vettori applicati nell'origine possono rappresentare qualsiasi vettore del piano e definiti mediante la combinazione lineare di i e j con la scrittura:

a = xi + yj

dove x e y sono le coordinate della punta del vettore. Pertanto, un vettore a è identificato da una coppia ordinata di numeri reali x e y chiamati componenti scalari o semplicemente componenti rispetto ai versori i e j che rappresentano la base del piano vettoriale V_O². Per questo motivo, un vettore a del piano vettoriale V_O² viene anche espresso nella forma abbreviata:

a = (x, y)

che associa ogni vettore a del piano, in modo unico, a un punto del piano tramite la coppia ordinata (x, y) di numeri reali.

Se i vettori sono definiti mediante combinazioni lineare di i e j le operazioni di addizione o di sottrazione fra vettori e di moltiplicazione di un vettore per un numero reale risultano più semplici perchè possono essere ricondotte ad operazioni sulle componenti scalari del vettore. Infatti, è più facile operare con i numeri che con le costruzioni geometriche. Se i vettori sono:

a = x₁i + y₁j     b = x₂i + y₂j

allora la loro somma è:

a + b = (x₁ + x₂)i + (y₁ + y₂)j

e la loro differenza è:

a - b = (x₁ - x₂)i + (y₁ - y₂)j

In pratica, l'addizione di vettori è ricondotta nell'addizione delle loro componenti scalari e la sottrazione è ricondotta alla differenza delle loro componenti scalari.

Il prodotto am è:

am = mx₁i + my₁j

Pertanto la moltiplicazione di un vettore per un numero reale si riduce alla moltiplicazione delle sue componenti scalari per lo stesso numero.

Vediamo due esempi:

• Addizione vettoriale.
  
  Se i due vettori sono:

  a = -3i + j;     b = 4i -5j

  La loro somma è ottenuta sommando le componenti x e le componenti y dei due vettori:

  a + b = (-3i + 4i) + (j -5j)

  Cioè:

  a + b = i -4j

  Ed ecco la verifica mediante la costruzione grafica.

  

• Sottrazione vettoriale.
  
  Se i due vettori sono:

  a = 2i - 3j;     b = 5i -2j

  La loro differenza è ottenuta sommando le differenze tra le componenti x e le componenti y dei due vettori:

  a - b = (3i - 5i) + (-3j - (-2)j)

  Cioè:

  a - b = -2i -j

  Ed ecco la verifica mediante la costruzione grafica.

  

• Moltiplicazione di un vettore per un numero.
  
  Se il vettore e il numero reale sono rispettivamente:

  a = -5i + 4j;     m = -2

  Il loro prodotto è ottenuto moltiplicando per m le componenti scalari:

  a ⋅ m = (-5i + 4j) ⋅ (-2) = 10i -8j

Nel piano cartesiano due vettori sono paralleli se hanno la stessa inclinazione rispetto al semiasse positivo delle x e ciò si verifica se le componenti dei due vettori sono direttamente proporzionali. Ossia se i vettori sono:

a = x₁i + y₁j;     b = x₂i + y₂j

Deve verificarsi:

dove k è un numero reale. Ad esempio, i due vettori:

a = 3i + 6j;     b = 2i + 4j

sono paralleli perchè