Primi elementi del calcolo delle probabilità

Probabilità condizionata

In alcuni casi può succedere che un evento condizioni un altro evento. Ciò si verifica quando si vuole calcolare la probabilità di un evento E₁ sapendo che si è verificato un evento E₂. Ad esempio, supponiamo di aver lanciato un dado e di sapere che è uscito un numero maggiore di 3. Qual è la probabilità che sia uscito un numero pari?

I due eventi sono:

E₁ = E' uscito un numero pari      E₂ = E' uscito un numero maggiore di 3

Senza la conoscenza dell'evento E₂ la probabilità dell'evento E₁ è naturalmente 1/2. Con l'informazione aggiuntiva dell'evento E₂ la valutazione della probabilità dell'evento E₁ cambia. Infatti, dato E₂, possiamo considerare uno spazio campione ridotto ai soli tre elementi

4, 5, 6

E dunque gli esiti possibili sono 3 e di essi solo 2 sono favorevoli e quindi la probabilità di E₁ è 2/3. Aumentando l'informazione si riduce lo spazio campione. In questo caso diremo che i due eventi sono dipendenti: il verificarsi di E₂ condiziona la probabilità di E₁. Làinformazione in più di cui disponiamo, cioè sapere che si verifica E₂, cambia la probabilità di E₁ che passa da 1/2 a 2/3 . Diremo che la probabilità di E₁ condizionata da E₂ è 2/3 e scriveremo:

(che si leggi: probabilità di E₁ a condizione che si verifichi E₂ oppure probabilità di E₁ condizionata da E₂).
Vediamo come possiamo calcolare con una formula la probabilità condizionata. Nel nostro esempio abbiamo assunto come nuovo spazio campione l'insieme:

{4, 5, 6}

Cioè l'evento E₂ (anzichè S) e come insieme dei casi favorevoli l'insieme

{4, 6}

Cioè l'insieme E₁ ∩ E₂ perchè E₁ deve verificarsi dato E₂.

E, in base alla definizione di probabilità, possiamo scrivere:

dove la funzione num indica il numero degli elementi di un insieme finito. Osserviamo che, riconsiderando S come spazio campione, si ha

e quindi, con passaggi puramente algebrici si ottiene:

Ora, possiamo dare la seguente definizione:

Probabilità condizionata
Se E₁ e E₂ sono due eventi qualsiasi dello spazio campione S e p(E₂)≠0 allora la probabilità di E₁ a condizione che si sia verificato E₂ è definita da

Analogamente se p(E₁)≠0, la probabilità di E₂ a condizione che si sia verificato E₁ è definita da:

Dalle formule precedenti seguono immediatamente delle formule per la probabilità dellàevento intersezione di due eventi.

Probabilità dell'intersezione di due eventi
Se E₁ e E₂ sono due eventi qualsiasi dello spazio campione S allora si ha:

Queste due formule sono dette regole di moltiplicazione per distinguerle dalla regola di addizione relativa all'unione di eventi. E' importante comprendere il loro significato. Ad esempio, la seconda formula indica che la probabilità del verificarsi di entrambi gli eventi E₁ ed E₂ è uguale alla probabilità di E₁ per la probabilità di E₂ supponendo che E₁ si sia verificato.