Primi elementi del calcolo delle probabilità

Spazio campione ed eventi

Esaminiamo un tipico esperimento aleatorio: il lancio di un dado.

Si possono presentare sei possibili risultati: i numeri da 1 a 6. Chiameremo l'insieme di questi risultati spazio campione e lo indicheremo con S. Possiamo indicare lo spazio campione S per elencazione o con un diagramma di Venn:

In generale: Chiameremo spazio campione l'insieme di tutti i risultati (o esiti) possibili di un esperimento casuale. Ogni risultato è un punto dello spazio campione.

Lanciando un dado possiamo considerare vari eventi aleatori, ad esempio:

1) l'uscita del numero 1

2) l'uscita di un numero pari

3) l'uscita di un numero minore di 5

Il primo evento si verifica nel solo caso in cui il dado presenti il numero 1.

Il secondo si verifica se il risultato del lancio è uno dei tre numeri: 2, 4, 6.

Il terzo evento si verifica se il risultato è uno dei quattro numeri: 1, 2, 3, 4.

Come si vede ogni evento aleatorio individua un sottoinsieme dello spazio campione. Gli elementi di questo sottoinsieme sono gli esiti favorevoli all'evento.

In generale: Se S è lo spazio campione relativo a un certo esperimento aleatorio, chiameremo evento ogni sottoinsieme E di S cioè ogni sottoinsieme di esiti possibili.

Tra i sottoinsiemi dello spazio campione S ci sono anche l'insieme vuoto e l'insieme S stesso. Si tratta delle due situazioni estreme. L'insieme vuoto rappresenta un evento che non si verifica mai: lo chiameremo evento impossibile. Ad esempio, pensando sempre al lancio di un dado, l'evento:

E = Si presenta il numero 7

è un evento impossibile.

L'insieme S, considerato come sottoinsieme di se stesso, rappresenta un evento che si verifica sempre: lo chiameremo evento certo. Ad esempio, lanciando un dado, l'evento:

E = Si presenta un numero minore di 7

è un evento certo.

Poichè un evento è un insieme, ogni proprietà, relazione alle operazione tra insiemi può essere tradotta nel linguaggio degli eventi. Ad esempio, due sottoinsiemi E1 ed E2 di un insieme S possono essere disgiunti oppure avere intersezione non vuota. Nel primo caso, interpretando i due sottoinsiemi come eventi, diremo che E1 ed E2 sono eventi incompatibili (non possono verificarsi contemporaneamente o, equivalentemente, se si verifica uno non può verificarsi l'altro); nel secondo caso diremo invece che sono eventi compatibili (possono verificarsi contemporaneamente). Ad esempio, pensando al lancio di un dado, sono incompatibili gli eventi:

E1 = Si presenta un numero dispari

E2 = Si presenta un numero maggiore 5

Sono invece compatibili gli eventi:

E1 = Si presenta un numero dispari

E2 = Si presenta un numero maggiore 2