Primi elementi del calcolo delle probabilità

Introduzione

Il calcolo delle probabilità si occupa dello studio dei fenomeni aleatori o casuali, cioè dei fenomeni in cui interviene il caso. Ad esempio, se lanciamo una moneta in aria possiamo essere certi che ricadrà e si possono verificare due casi: si presenta una faccia o l'altra, cioè si presenta testa oppure croce.

Diremo anche che testa e croce sono gli esiti possibili di questo esperimento. Siamo in grado di prevedere in modo certo se si presenterà testa oppure croce? Evidentemente no. Possiamo tuttavia ritenere che, se la moneta non è truccata, effettuando un gran numero di lanci, le uscite di testa debbano tendenzialmente bilanciare le uscite di croce. Per esempio siamo portati a ritenere estremamente improbabile che su 100 lanci si presenti 90 volte testa e 10 volte croce. Si dice che il presentarsi di testa o croce sono eventi che hanno la stessa probabilità non c'è alcun ragionevole motivo perchè una moneta non truccata, quindi perfettamente simmetrica, debba presentare in modo sistematico più uscite di testa che di croce (o viceversa). Se vogliamo misurare il grado di probabilità con una scala convenzionale che va da 0 a 1 (o, equivalentemente, dallo 0% al 100%), diremo che esiste una probabilità matematica del 50% che si presenti testa e un'identica probabilità che si presenti croce. Ciò non significa, naturalmente, che lanciando 100 volte una moneta si presenterà testa per 50 volte e croce per 50 volte (anche se ciò potrebbe accadere); la moneta non dispone di una sorta di stato interno che funga da memoria del passato: ogni lancio è del tutto indipendente dai precedenti. Se tuttavia, anzichè considerare un singolo lancio, siamo interessati a valutare il fenomeno su un gran numero di prove allora entra in gioco la probabilità matematica: tanto più grande sarà il numero dei lanci tanto più attendibile sarà quest'ultima. Un'affermazione probabilistica, concernente la misura della probabilità di un evento, non permette dunque alcuna determinazione certa dell'evoluzione di un fenomeno esaminato puntualmente, localmente, in ogni sua singola manifestazione. Non devi credere, però, che un'informazione di tipo probabilistico sia di scarso significato. Supponi ad esempio di dover puntare sull'uscita di testa nel lancio di una moneta oppure sull'uscita di un dato numero, diciamo 1, nel lancio di un dado. Quale dei due esperimenti ti dà una maggior aspettativa di vincita? Qualsiasi persona che si comporti razionalmente sceglierebbe il primo esperimento perchè qui la probabilità matematica di vincita è ben più alta che nel secondo caso. E ciò senza avere alcuna certezza perchè affiderebbe la sua scelta ad un modello matematico non deterministico che, nel caso in esame, assegna al primo esperimento una probabilità di vincita pari a 1/2 e al secondo pari a 1/6.