Primi elementi del calcolo delle probabilità

La legge empirica del caso

Consideriamo un esperimento aleatorio: il lancio di una moneta. Ripetiamo l'esperimento un gran numero di volte e, dopo ogni lancio, aggiorniamo il numero di volte che si ripete l'evento E = esce testa (oppure, fa lo stesso, di esce croce). Essendo l'evento E ripetibile possiamo definire la sua frequenza relativa cioè il rapporto tra il numero m di volte che si verifica l'evento E e il numero n di lanci effettuati.

Supponiamo ad esempio che cinque lanci successivi abbiano dato il seguente risultato

T, C, C, T, T

la frequenza relativa dell'evento esce testa è allora:

E essendo 0 ≤ m ≤ n si ha che la frequanza relativa è sempre 0 ≤ f ≤ 1.

Per valori grandi del numero n dei lanci, il valore della frequenza relativa tende ad avvicinarsi sempre di più a 0,5 che è la probabilità che esca testa.

Cioè, per valori grandi di n, frequenza relativa e probabilità tendono a coincidere. E ciò non accade solo nel caso di questo esperimento aleatorio. L'esperienza mostra infatti che le cose vanno generalmente cosí. Questa è la legge empirica del caso. Naturalmente possiamo rilevare uno scarto tra frequenza relativa e probabilità questo scarto, però, tenderà a diventare sempre più piccolo.

Riassumendo la legge empirica del caso ci dice che: se si effettua un gran numero di prove la frequenza relativa di un certo evento assume valori molto vicini a quelli della probabilità e tale approssimazione è tanto maggiore quanto più alto è il numero delle prove.

Questa definizione della probabilità è detta concezione frequentista o empirica della probabilità.

In conclusione, i modelli matematici forniti dal calcolo delle probabilità funzionano, cioè ci consentono di formulare delle previsioni credibili sui fenomeni aleatori che incontriamo nella realtà, proprio per la legge empirica del caso.

C'è poi un ultimo aspetto. In molte situazioni potremmo non essere in grado di assegnare una probabilità a priori a un determinato evento. Qual è, ad esempio, la probabilità che una batteria per automobili duri 1 anno, 2 anni,..., 10 anni? Non c'è modo, in questo caso, di determinare la probabilità mediante un ragionamento matematico. Possiamo però affidarci ad una valutazione a posteriori, basata su un gran numero di dati, ed assegnare a ciascun evento una probabilità uguale alla frequenza relativa.