Primi elementi del calcolo delle probabilità

Probabilità

Come possiamo valutare il grado di probabilità che un certo evento si verifichi? Se lanciamo una moneta, lo spazio campione S ha solo 2 elementi o esiti possibili T = testa e C = croce

S = {T, C}

E se la moneta non è truccata, l'evento esce testa e l'evento esce croce hanno lo stesso grado di probabilità: è una probabilità di 1 su 2, cioè 1/2, o se volete, del 50%. Infatti, l'evento E = esce testa, ha un solo elemento

E = {T}

e la probabilità dell'evento esce testa è data dal rapporto tra il numero di casi favorevoli (nel nostro caso 1) e il numero dei casi possibili (nel nostro caso 2).

In generale: La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero di esiti che verificano l'evento e il numero totale di esiti possibili, supposto che essi abbiano tutti la stessa possibilità di verificarsi.

Indicando con m il numero degli elementi di E ed n il numero degli elementi dello spazio campione S, possiamo anche dire che m è il numero degli esiti favorevoli all'evento e n è il numero degli esiti possibili e in base alla definizione si ha:

Questa definizione è la definizione classica del concetto di probabilità ed è quella dovuta ai matematici Bernoulli e Laplace.

Dalla definizione di probabilità segue che si ha sempre:

0 ≤ m ≤ n

Perchè è sempre E ⊆ S e quindi, trattandosi di insiemi finiti, il numero degli elementi di E è minore o uguale al numero degli elementi di S; inoltre se E = Ø si ha m=0 (e viceversa), se E = S si ha m = n (e viceversa). Da ciò discendono immediatamente le seguenti proprietà.

Se indichiamo con p(E) la probabilità dell'evento E si ha:

1. 0 ≤ p(E) ≤ 1

2. p(E) = 1 se e solo se E = S (evento certo)

3. p(E) = 0 se e solo se E = Ø (evento impossibile)

In altre parole: la probabilità dell'evento impossibile è 0, la probabilità dell'evento certo è 1, la probabilità di un evento aleatorio è un numero positivo compreso tra 0 e 1.