Primi elementi del calcolo delle probabilità

Probabilità in spazi campione infiniti

Consideriamo l'esperimento: lanciare a caso un freccetta contro un bersaglio circolare di raggio unitario (non considerando i casi in cui la freccetta non raggiunga il bersaglio o non si conficchi).

In questo caso lo spazio campione è costituito dagli infiniti punti di un cerchio di raggio unitario ed è uno spazio continuo. Se ragionassimo come nel caso degli spazi campione finiti, la probabilità di colpire un determinato punto sarebbe zero. Perchè i punti sono infiniti e dunque avremmo un solo esito favorevole su infinite possibilità. Non ha quindi senso parlare di probabilità di colpire un punto. Ha senso invece dividere il bersaglio in un numero finito di regioni e chiedersi qual è la probabilità di colpire una certa regione.

Consideriamo allora l'evento:

E = La freccetta si conficca a una distanza dal centro compresa tra 0,6 e 0,8

Qual è la probabilità di E? I casi favorevoli sono tutti i punti della corona circolare evidenziata in figura ed è quindi ragionevole misurare l'evento E considerando l'area di tale regione; la misura dello spazio campione S sarà naturalmente l'area del bersaglio, cioè del cerchio unitario, che è Π. E allora la probabilità dell'evento E è:

In generale la probabilità dell'evento:

E = La freccetta si conficca a una distanza dal centro compresa tra a e b

con 0 ≤ a < b ≤ 1 è:

p(E) = b² - a²

E' importante tener conto che:

• Nel caso di uno spazio campione finito S possiamo misurare l'estensione di un evento, cioè di un sottoinsieme di S, semplicemente contando il numero dei suoi elementi;

• nel caso di uno spazio campione infinito e continuo S, per misurare l'estensione di un sottoinsieme di S, cioè di un evento, dovremo ricorrere ad altri metodi considerando lunghezze, aree o volumi secondo che lo spazio campione sia rappresentabile con un segmento, con una regione del piano o con una regione dello spazio geometrico.