Primi elementi del calcolo delle probabilità

Probabilità dell'evento complementare

Dato un evento E si definisce un evento complementare o contrario di E, indicato con l'evento che si verifica quando non si verifica E.

Ad esempio, nel lancio di due dadi qual è la probabilità che la somma delle facce non sia uguale 5?

Consideriamo la probabilità dell'evento E = la somma delle due facce dei dadi sia uguale 5.

Come si vede lo spazio campione ha 36 esiti possibili, mentre i casi favorevoli all'evento E sono 4 e sono le coppie;

(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4,1)

Pertanto, la probabilità dell'evento E è:

Per conoscere la probabilità complementare di E cioè la probabilità che la somma delle facce non sia uguale 5 ci sono due metodi:

1. Togliere dalla probabilità dell'evento certo (cioè la probabilità che la somma delle due facce sia 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) la probabilità dell'evento E:

2. Trovare tutti i casi favorevoli e cioè che la somma delle due facce sia 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 che sono 32 su 36 e quindi:

Come si vede il primo metodo è più semplice perchè la probabilità dell'evento certo è sempre uguale a 1.

Riassumendo: La probabilità dell'evento , contrario all'evento E, è il complemento a 1 della probabilità di E.

Quando il calcolo diretto della probabilità p(E) risulta troppo laborioso rispetto a quello di si preferisce applicare la formula:

Ad esempio: se lancio tre volte un dado, qual è la probabilità che il numero 4 appaia almeno una volta?

Consideriamo gli eventi:

E₁ = esce 4 al primo lancio e un numero qualsiasi al secondo e terzo lancio

E₂ = esce 4 al secondo lancio e un numero qualsiasi al primo e terzo lancio

E₃ = esce 4 al terzo lancio e un numero qualsiasi al primo e al secondo lancio

E = E₁ + E₂ + E₃ = esce 4 almeno una volta lanciando tre volte un dado

E calcoliamo p(E) = p(E₁ + E₂ + E₃):

p(E)=p(E₁)+p(E₂)+p(E₃)-p(E₁∩E₂)-p(E₂∩E₃)-p(E₃∩E₁)+p(E₁∩E₂∩E₃)

Cioè:

In alternativa possiamo calcolare dapprima che ࢸ la probabilità che non venga 4 nè al primo nè al secondo nè al terzo lancio:

E poi:

Quando nell'enunciato E c'è la parola almeno è più vantagioso calcolare la probabilità p(E) con la formula: