Primi elementi del calcolo delle probabilità

Diagrammi ad abero

Supponiamo di avere due urne, A e B. L'urna A contiene 2 palline nere e 3 palline rosse; l'urna B contiene una pallina nera e una pallina rossa.

E di scegliere un'urna a caso (ad esempio lanciando una moneta) e, da quest'urna, estraiamo una pallina a caso. Qual è la probabilità che la pallina sia nera?

Possiamo rappresentare il problema con un diagramma ad albero assegnando ad ogni ramo la sua probabilità condizionata.

Al primo e al secondo ramo abbiamo assegnato la probabilità 1/2 perchè questa è la probabilità di scegliere l'urna A o l'urna B. Al primo sottoramo del primo ramo abbiamo assegnato la probabilità 2/5 perchè questa è la probabilità di estrarre una pallina nera a condizione che sia stata scelta l'urna A, mentre al secondo sottoramo del primo ramo abbiamo assegnato la probabilità 3/5 perchè questa è la probabilità di estrarre una pallina rossa a condizione che sia stata scelta l'urna A. Con lo stesso criterio, sia al primo e sia al secondo sottoramo del secondo ramo abbiamo assegnato la probabilità condizionata 1/2.

Per calcolare la probabilità di ciascun percorso basta moltiplicare le probabilità dei tratti che lo compongono. Ad esempio, nel nostro caso abbiamo due percorsi che arrivano ad una pallina nera.

Il primo ha probabilità:

e il secondo ha probabilità:

Quindi, sommando, la probabilità di estrarre una pallina nera è:

Questo modo di procedere può naturalmente essere applicato a problemi di qualsiasi tipo; in generale:

• Un diagramma ad albero deve contemplare tutti i possibili eventi e ad ogni ramo (o tratto) deve essere assegnata la corrispondente probabilità condizionata (assumendo, cioè, che sia verificata la condizione che porta all'inizio di quel tratto).

• La somma delle probabilità corrispondenti ai rami che escono da un medesimo nodo è sempre uguale a 1 perchè rappresentano eventi complementari.

• Si ottiene la probabilità di una foglia moltiplicando tra loro le probabilità dei rami (dei tratti) che conducono dalla radice a quella foglia.

• La probabilità di un evento è dato dalla somma delle probabilità di tutti i percorsi che conducono a esso.