Primi elementi del calcolo delle probabilità

Probabilità delle prove ripetute

Supponiamo di avere un'urna con 10 palline identiche numerate da 1 a 10 e di eseguire 6 estrazioni consecutive rimettendo dopo ogni estrazione la pallina nell'urna. Qual è la probabilità che, su 6 estrazioni, per due volte esca una pallina con un numero multiplo di 3 e nelle restanti estrazioni un altro numero?

I multipli di 3 sono: 3, 6, 9 e l'evento E=esce un multiplo di 3 ha probabilità p=3/10, mentre l'evento contrario:

ha probabilità:

I due eventi:

sono indipendenti. Supponiamo che nelle prime due estrazioni si verifichi l'evento E e nelle successive quattro estrazioni l'evento contrario. La probabilità della sequenza:

E' dato dalla formula dell'intersezione per gli eventi indipendenti:

Ora, se l'ordine della sequenza degli eventi non è rilevante, bisogna considerare il numero delle possibili permutazioni con ripetizioni:

La probabilità che un evento si verifichi due volte su 6 è quindi:

In generale:

La probabilità che un dato evento si verifichi k volte su n prove indipendenti, è dato dalla formula: