Primi elementi del calcolo delle probabilità

Gioco equo

Mario e Giulio scommettono sul lancio di un dado; Mario riceve da Giulio 3 € ogni volta che esce un multiplo di 3, in caso contrario è Giulio che riceve 2,1 € da Mario. Qual è il risultato probabile di questo gioco supponendo che esca m volte un multiplo di 3 effettuando un numero n molto grande di lanci?

In totale Mario riceverà da Giulio 3 ⋅ m euro e in media riceverà:

Per ogni lancio. Il numero m/n rappresenta la frequenza relativa dell'evento esce un multiplo di 3 e se il numero n di lanci è molto grande per la legge dei grandi numeri possiamo sostituire la frequenza relativa con la probabilità che è 2/6 e quindi il ricavo medio di Mario sarà:

Per ogni lancio. Mario, però ha una perdita di 2,1 € tutte le volte che non esce un multiplo di 3 e quindi avrà probabilmente una perdita media di:

Per ogni lancio. Essendo la perdita media maggiore del ricavo medio, Mario avrà un guadagno medio per ogni lancio di:

Guadagno medio = ricavo medio - perdita media = 1 - 1,4 = -0,4 €

Quindi, essendo il guadagno medio negativo il gioco è sfavorevole per Mario mentre è favorevole a Giulio per cui se Mario non è assistito dalla dea della fortuna è destinato a perdere la scommessa e i soldi. Per rendere il gioco equo cioè non favorevole nè a Mario nè a Giulio bisogna cambiare le poste in modo che il guadagno medio sia di Mario e sia di Giulio sia nullo. Ciò è possibile se le poste Di Mario e di Giulio sono direttamente proporzionali alle rispettive probabilità di vincere. Ad esempio, nel nostro caso, Mario riceve da Giulio 3 € ogni volta che esce un multiplo di 3 con probabilità 1/3 di vincere mentre ha una probabilità 2/3 di perdere per cui la somma x che Mario deve dare a Giulio in caso di perdita deve essere:

In questo modo il ricavo medio di Mario resta uguale a 1 € e la perdita media diventa:

E, quindi, il guadagno medio è nullo.

In generale:

Se due giocatori A e B pagano rispettivamente R e S sul verificarsi o meno di un evento di probabilità p, affinchè il gioco sia equo le poste devono essere proporzionali alle probabilità di vincere:

Spesso nei giochi aleatori si utilizza il termine speranza matematica per indicare il prodotto fra la somma da vincere (o da perdere) e la probabilità di vincerla (o di perderla). Inoltre, si definisce speranza matematica totale la somma dei prodotti dei valori delle vincite (positivi) e delle perdite (negativi) per le rispettive probabilità. Ad esempio, se a₁, a₂, p₁, p₂ rappresentano rispettivamente la vincita, la perdita e le rispettive probabilità, la speranza matematica totale s.m._tot è uguala a:

s.m._tot = a₁ ⋅ p₁ - a₂ ⋅ p₂

Se la speranza matematica totale è uguale a zero si dice che il gioco è equo; se è maggiore di zero è favorevole per il giocatore, se è minore di zero è sfavorevole. Pertanto la speranza matematica totale può essere considerato un sinonimo del guadagno medio.