Primi elementi del calcolo delle probabilità

Probabilità dell'unione di eventi

L'unione di due eventi E₁, E₂ che si indica con E = E₁ ∪ E₂ è quell'evento che si verifica se e solo se si verifica almeno uno dei due eventi. Per determinare la probabilità dell'evento E unione dei due eventi E₁, E₂ dobbiamo distinguere due casi:

• Primo caso: i due eventi sono tra loro incompatibili.

  Ossia non si possono verificare contemporaneamente cioè E₁ ∩ E₂ = Ø

  Ad esempio, nel lancio di un dato qual è la probabilità dell'uscita del numero 3 oppure di un numero pari?

  I due eventi E₁ = esce il numero 3, E₂ = esce un numero pari sono incompatibili.

  

  Lo spazio campione ha 6 esiti possibili, l'evento E₁ ha un solo esito, l'evento E₂ ha 3 esiti e quindi le loro probabilità sono:

  

  La probabilità dell'evento E unione di due eventi incompatibili è data dalla somma delle probabilità dei singoli eventi:

  

  Riassumendo: La probabilità dell'evento unione di due eventi incompatibili è dato dalla somma delle loro probabilità:

  

• Secondo caso: i due eventi sono tra loro compatibili.

  Ossia si possono verificare contemporaneamente cioè E₁ ∩ E₂ ≠ Ø

  Ad esempio, nel lancio di un dato qual è la probabilità dell'uscita di un numero pari oppure di un numero multiplo di 3?

  I due eventi E₁ = esce il numero pari, E₂ = esce un numero multiplo di 3 sono compatibili.

  

  Lo spazio campione ha 6 esiti possibili, l'evento E₁ ha 3 esiti, l'evento E₂ ha 2 esiti e quindi le loro probabilità sono:

  

  Calcoliamo la la probabilità dell'evento unione E = E₁ ∪ E₂. In questo caso dalla somma delle probabilità dei singoli eventi occorre togliere la probabilità dell'evento intersezione tra E₁ e E₂ altrimenti verrebbe contata due volte, una volta per E₁ e una per E₂. L'evento E₁ ∩ E₂ ha un solo esito e quindi la sua probabilità è 1/6. Pertanto la probabilità dell'evento unione è:

  

  Riassumendo: La probabilità dell'evento E unione di due eventi compatibili è data dalla somma delle probabilità dei singoli eventi diminuita dalla probabilità della loro intersezione.

  

  Osservazione: La formula della probabilità dell'unione tra due eventi compatibili è valida anche nel caso che i due eventi siano incompatibili perchè essendo E₁ ∩ E₂ = Ø l'evento intersezione è impossibile e quindi la sua probabilità è nulla.