Primi elementi del calcolo delle probabilità

Passaggio all'evento contrario

Se lancio tre volte un dado, qual è la probabilità che il numero 4 appaia almeno una volta?

L'evento E="esce 4 almeno una volta lanciando tre volte un dado" equivale a:

E="esce 4 esattamente 1 volta o esattamente 2 volte o esattamente 3 volte lanciando 3 volte un dato"

Ora, calcolare la probabilità dell'evento E risulta laborioso perchè dovremmo calcolare la probabilità degli eventi:

E₁ = "esce 4 esattamente 1 volta lanciando tre volte un dado"

E₂ = "esce 4 esattamente 2 volte lanciando tre volte un dado"

E₃ = "esce 4 esattamente 3 volta lanciando tre volte un dado"

E dato che tali eventi sono incompatibili sommare le loro probabilità:

p(E) = p(E₁ + E₂ + E₃) = p(E₁) + p(E₂) + p(E₃)

Rappresentiamo il problema con il diagramma ad albero assegnando ad ogni ramo la probabilità condizionata:

Calcoliamo la probabilità p(E₁); dal diagramma possiamo osservare che c'à un unico percorso:

e la probabilità è:

Calcoliamo la probabilità p(E₂); dal diagramma possiamo osservare che ci sono tre percorsi e si ha:

Calcoliamo la probabilità p(E₃); dal diagramma possiamo osservare che ci sono tre percorsi e si ha:

e sommando, si ottiene:

Esiste un modo più semplice per risolvere il problema utilizzando l'evento contrario:

E la sua probabilità:

E poi:

Quando nell'enunciato E c'è la parola almeno è più vantagioso calcolare la p(E) con la formula: