Primi elementi del calcolo delle probabilità

Eventi indipendenti

Supponiamo di lanciare due volte una moneta e di considerare i due esiti:

E₁=I due lanci danno lo stesso esito

E₂=Al primo lancio si presenta testa

Senza la conoscenza dell'evento E₂ lo spazio campione dell'evento E₁ ha quattro elementi:

S={(T, C), (C, T), (T, T), (C,C)}

i casi favorevoli sono due {(T, T), (C,C)} e la probabilità dell'evento E₁ è 1/2.

Con l'informazione aggiuntiva dell'evento E₂ lo spazio campione ha solo due elementi:

S'={(T, C), (T, T)}

I casi favorevoli è uno solo {(T, T)} e la probabilità di E₁ a condizione che si verifichi E₂ è:

p(E₁|E₂) = 1/2

Osserviamo che la conoscenza aggiuntiva dell'evento E₂ non ha modificato la probabilità dell'evento E₁ infatti si ha:

p(E₁|E₂) = p(E₁)

In queto caso, si dice che i due eventi E₁ e E₂ sono indipendenti perchè il verificarsi dell'uno non influenza la probabilità con cui si verifica l'altro.

Possiamo allora dire che: Due eventi E₁ ed E₂ sono indipendenti se si ha:

p(E₁|E₂) = p(E₁)

o, equivalentemente:

p(E₂|E₁) = p(E₂)

Nel caso in cui gli eventi siano indipendenti, la formula per la probabilità della loro intersezione si semplifica.

Probabilità dell'intersezione di due eventi indipendenti

Se E₁ e E₂ sono due eventi indipendenti dello spazio campione S si ha:

p(E₁ ∩ E₂) = p(E₁) ⋅ p(E₂)

Esempio: Consideriamo un sacchetto contiene 5 palline nere e 3 palline rosse.

Si estraggono due palline. Qual è la probabilità che la prima pallina estratta sia nera e la seconda sia rossa se la prima pallina non viene rimessa nel sacchetto? E se la prima pallina viene rimessa nel sacchetto?

Poniamo:

E₁ = La prima pallina estratta è nera

E₂ = La seconda pallina estratta è rossa

L'esempio richiede di calcolare la probabilità di E₁ ∩ E₂.

• Primo caso: la pallina estratta non viene reinserita

  La probabilità che la prima pallina estratta sia nera è:

  

  La probabilità che la seconda pallina estratta sia rossa a condizione che la prima pallina estratta sia nera è:

  

  Perchè nel sacchetto sono rimaste 7 palline (delle 5+3=8 iniziali) e 3 di queste sono rosse perchè abbiamo assunto che quella già estratta sia nera. Ne segue che i due eventi sono dipendenti e grazie alla formula per l'intersezione di due eventi dipendenti si ottiene:

  
• Secondo caso: la pallina estratta viene reinserita.
  In questo caso i due eventi E₁ e E₂ sono indipendenti perchè dopo la prima estrazione viene ripristinata la condizione iniziale e quindi non cambia lo spazio campione. Per cui si ha:
  

  E applicando la formula si ottiene: