Geometria dei frattali

Albero di Pitagora

Nel 1942 l'olandese Albert Bosmann (1891-1961) propose un frattale che utilizza l'iterazione del teorema di Pitagora e per questo motivo il frattale è chiamato albero di Pitagora. Questo frattale si ottiene applicando il seguente procedimento ricorsivo:

• Passo 0: prendere un quadrato col lato di lunghezza 1;

• Passo 1: costruire un triagolo rettangolo isoscele sul lato del quadrato opposto alla base;

• Passo 2: costruire altri due quadrati sui cateti del triangolo;

• Passo 3: ripetere i passi 1 e 2 su ogni nuovo triangolo.

Ecco le prime iterazioni.

Calcoliamo la dimensione frattale dell'albero di Pitagora: il fattore di scala è 2/√2 mentre il numero delle parti identiche è 2 (ad ogni iterazione od ogni quadrato corrispondono 2 quadrati in scala ridotta) per cui si ha:

Naturalmente il triangolo rettangolo può essere anche scaleno, in questi casi si ottengono frattali non simmetici:

L'albero di Pitagora suggerisce come costruire un modello semplificato di un albero. In questo caso invece di partire da un quadrato si parte da un segmento verticale che rappresenta il tronco, poi all'estremità superiore del segmento si aggiungono due segmenti in scala uno ruotato a sinistra e l'altro ruotato a destra che rappresentano due rami e alla fine di ognuno di essi si aggiungono altri due segmenti e cosí via. Ecco il procedimento ricorsivo:

• Passo 0: Disegnare una linea verticale;

• Passo 1: disegnare alla fine della linea, ruotata a sinistra di un angolo α, una linea in scala 1/2 e ruotata a destra di un angolo α una linea in scala 1/2;

• Passo 2: ripetere il passo 1 su ogni nuova linea.

Ecco le prime iterazioni:

Migliorando il procedimento agendo sullo spessore del tronco e dei rami, sulla lunghezza di ciascuno dei tratti di ramo aggiunti e modificando l'angolo tra i due rami in modo casuale si ottiene un albero frattale come si vede in figura:

Inoltre, cambiando il colore dei rami più sottili si può creare un albero digitale con un effetto ancora più reale: