Geometria dei frattali

Frattali lineari e similitudine

Tutti i frattali che abbiamo esaminato fino a questo momento sono detti lineari perchè l'algoritmo che li genera è definito da una funzione lineare cioè da una funzione in cui le variabili sono tutte di primo grado. La caratteristica principale di un frattale è l'autosomiglianza in scala ridotta. Le trasformazioni geometriche che conservano la forma ma non le dimensioni sono le omotetie e più in generale le similitudini. La trasformazione di omotetia può ingrandire o impicciolire in scala un poligono o una qualsiasi figura senza cambiare la direzione dei lati. Pertanto le omotetie conservano la direzione, gli angoli e il rapporto fra segmenti corrispondenti che viene chiamato fattore di scala o rapporto di omotetia. Se il fattore di scala è compreso tra 0 e 1 si ha una riduzione di scala, se è uguale a 1 la figura resta immutata, se è maggiore di 1 si ha un ingrandimento di scala. Consideriamo le omotetia nel piano cartesiano. Se l'omotetia ha centro nell'origine degli assi e un fattore di scala k allora la trasformazione di omotetia ha per equazione:

dove x e y sono le coordinate iniziali dei punti, mentre X e Y sono le coordinate dei corrispondenti punti dopo la trasformazione. Consideriamo un triangolo rettangolo ABC isoscele con i cateti di lunghezza 1 e con il vertice A nell'origine degli assi.

Ora, se operiamo con una omotetia con centro in A (0; 0) e con un fattore di scala k=1/2 otteniamo il triangolo AED simile al triangolo ABC ma in scala ridotta a 1/2 e quindi le lunghezza dei sui lati sono la metà dei corrispondenti lati del triangolo ABC. Se operiamo con una omotetia con centro in A (0; 0) e con un fattore di scala k=1/4 otteniamo il triangolo AFG simile al triangolo ABC ma in scala ridotta a 1/4 e quindi le lunghezza dei sui lati sono la metà della metà dei corrispondenti lati del triangolo ABC. Dalla figura possiamo anche osservare che i triangoli ABC, AED, AFG sono simili tra loro e possiamo passare dal triangolo AED al triangolo AFG con una omotetia con centro in A e k=1/2.

In pratica si passa dal triangolo ABC al triangolo AED mediante l'omotetia con centro in A e di equazione:

E si passa dal triangolo ABC al triangolo AFG mediante l'omotetia con centro in A e di equazione:

La similitudine è una trasformazione geometrica che conserva la forma ma non conserva necessariamente la direzione e si ottiene per composizione di un'omotetia con un'isometria.

similitudine = omotetia + isometria.

Ricordiamo che le isometrie sono le trasformazioni geometriche che mantengono la lunghezza dei segmenti e l’ampiezza degli angoli ma cambia la posizione della figura e sono: traslazioni, simmetrie assiali, simmetria centrale e rotazioni. Ad esempio se si compone un'omotetia con centro nell'origine degli assi e un fattore di scala k con una traslazione avente la componente orizzontale a e la componente verticale b le equazioni della trasformazione sono:

Se operiamo con una omotetia con centro in A (0; 0) e con un fattore di scala k=1/2 otteniamo il triangolo AED e se successivamente trasliamo il triangolo AED:

• con un vettore di componente orizzontale 1/2 e componente verticale 0 otteniamo il triangolo EBF;

• con un vettore di componente orizzontale 0 e componente verticale 1/2 otteniamo il triangolo DFC;

In pratica si passa dal triangolo ABC al triangolo EBF mediante un'omotetia con centro in A e k=1/2 e successivamente con una traslazione con componenti (1/2; 0) oppure con una similitudine con centro in A di equazione:

E si passa dal triangolo ABC al triangolo DFC mediante l'omotetia con centro in A e k=1/2 e successivamente con una traslazione con componenti (0; 1/2) oppure con una similitudine con centro in A di equazione:

A questo punto non è difficile capire che iterando omotetie e traslazione si può ottenere la seguente figura:

e con infinite trasformazioni di omotetie e traslazioni si ottiene il triangolo di Sierpinski. Pertanto componendo omotetie e isometrie si possono ottenere tutti i frattali lineari. Si dice anche che i frattali autosimili per cambiamenti di scala e per traslazioni sono invarianti per trasformazioni lineari