Geometria dei frattali

Spugna di Menger

La versione tridimensionale del tappeto di Sierpinski fu proposta dal matematico austriaco Karl Menger (1902-1985) nel 1926 che la ottenne partendo da un cubo con lo spigolo di lunghezza 1. Questo frattale tridimensionale è conosciuto col nome spugna di Menger e si ottiene applicando il seguente procedimento ricorsivo:

• Passo 0: prendere un cubo pieno con lo spigolo di lunghezza 1;

• Passo 1: dividere il cubo in 27 cubi uguali;

• Passo 2: rimuovere il cubo centrale e i sei cubi che hanno una faccia in comune con essa;

• Passo 3: ripetere i passi 1 e 2 su ogni nuovo cubo pieno.

Ecco le prime iterazioni.

Possiamo osservare che ogni faccia della spugna di Menger è un tappeto di Sierpinski e ogni spigolo e ogni diagonale è una polvere di Cantor. Determiniamo la dimensione fratale della spugna di Menger: Il fattore di scala è 1/3 (ogni spigolo del cubo viene diviso in tre parti uguali) mentre il numero delle parti identiche è 20 (ad ogni iterazione ad un cubo corrispondono 20 = 27 - 6 cubi in scala 1/3) per cui si ha:

Dopo la prima iterazione il cubo iniziale è composto da 20 cubi pieni più piccoli con lo spigolo di lunghezza 1/3, dopo la seconda iterazione il cubo è composto da 400 (cioè 20²) cubi pieni con lo spigolo di lunghezza 1/9, dopo la terza iterazione il cubo è composto da 8000 (cioè 20³) cubi pieni con lo spigolo di lunghezza 1/27, dopo la quarta iterazione il cubo è composto da 160.000 (cioè 20⁴) cubi pieni con lo spigolo di lunghezza 1/81 e cosí via. Questo frattale tridimensionale ha volume nullo e superficie infinita.