Geometria dei frattali

Una montagna frattale

La geometria frattale si è rivelata un utile strumento per ottenere immagini al computer quasi reali utilizzando un semplice programma ricorsivo. Ad esempio, si può creare l'immagine di una montagna frattale con il metodo dell'innalzamento dei punti medi dei lati di un triangolo qualsiasi applicando la solita procedura ricorsiva:

• Passo 0: prendere un triangolo qualunque;

• Passo 1: costruire sui punti medi dei lati del triangolo un segmento verticale che sia in scala con il lato su cui poggia;

• Passo 2: costruire il triangolo che ha per vertici gli estremi liberi dei segmenti verticale e i tre triangoli che hanno per vertici l'estremo libero del segmento verticale e i due estremi del lato su cui poggia il segmento;

• Passo 3: ripetere i passi 1 e 2 su ogni nuovo triangolo.

Dopo la prima iterazione la figura è composta da quattro triangoli, nella seconda iterazioni i triangoli diventano 16 e poi 64 e cosí via. Dopo n iterazione i triangoli sono talmente piccoli da non essere più distinguibili. Ecco ad esempio la prima iterazioni:

E dopo alcune iterazioni:

Migliorando l'algoritmo, stabilendo con un generatore di numeri casuali sia la lunghezza dei segmenti che la direzione e inserendo le ombreggiature e i colori si possono ottenere scenari di montagne digitali quasi reali:

In generale, il modello della montagna frattale nasce dallo spostamento casuale del punto medio, una procedura in cui si parte da un segmento e si sposta casualmente il punto medio verso l'alto o verso il basso. Ripetendo il processo su ogni nuovo segmento, la linea assume un profilo sempre più irregolare, simile a una cresta montuosa. E' uno dei metodi più semplici e più efficaci per generare frattali realistici.

A differenza dei frattali deterministici (come Koch o Sierpinski), le montagne frattali appartengono alla famiglia dei frattali random, dove la regola di iterazione include una componente casuale. Questo introduce una variabilità naturale: ogni montagna è diversa, pur seguendo lo stesso schema di base.