Indice
Introduzione
Le curve mostruose e il concetto di dimensione
Merletto e fiocco di neve di koch
Curva di Koch generalizzata
La polvere di Cantor
Triangolo di Sierpinski
Tappeto di Sierpinski
Spugna di Menger
Albero di Pitagora
Una montagna frattale
Una fronde di felce frattale
Frattali lineari e similitudine
Frattali non lineari e l'insiemi di Julia
Frattali e computer
Frattale di Mandelbrot
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Triangolo di Sierpinski
Un altro famoso frattale fu proposto nel 1915 da Waclaw Sierpinski (1882-1969) ed è chiamato triangolo di Sierpinski. Per realizzare questo frattale si applica il seguente procedimento ricorsivo:
Passo 0: prendere un triangolo equilatero pieno con lato di lunghezza 1;
Passo 1: dividere il triangolo in quattro triangoli equilateri uguali;
Passo 2: rimuovere il triangolo equilatero centrale;
Passo 3: ripetere i passi 1 e 2 su ogni nuovo triangolo equilatero pieno.
Ecco le prime iterazioni.
Il perimetro del triangolo di Sierpinski cresce di un fattore 3/2 ogni volta che si passa da un livello a quello successivo e essendo 3/2 maggiore di 1 al crescere di n cresce anche il perimetro. Da ciò si intuisce che il perimetro di un triangolo di Sierpinski è infinito. Vediamo cosa succede per l'area:
Osserviamo che l'area decresce di un fattore 3/4 ogni volta che si passa da un livello a quello successivo e essendo 3/4 minore di 1 al crescere di n decresce l'area. Da ciò si intuisce che l'area di un triangolo di Sierpinski è nulla. Il triangolo di Sierpinski ha quindi una particolare caratteristica: un perimetro infinito e un'area nulla. Determiniamo la dimensione fratale del triangolo di Sierpinski: Il fattore di scala รจ 1/2 (ogni lato del triangolo viene diviso in due parti uguali) mentre il numero delle parti identiche è 3 (ad ogni iterazione ad un triangolo corrispondono 3 triangoli in scala 1/2) per cui si ha:
