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Frattale di Mandelbrot

E' stato il matematico polacco B. Mandelbrot (1924-2010) a riscoprire gli insiemi di Gaston Julia e di Pierre Fatou e a utilizzare il computer per studiarli e scoprire il frattale più popolare che in suo onore è detto frattale di Mandelbrot o insieme di Mandelbrot. Tra il 1875 e il 1925 molti illustri matematici (Cantor, Peano, Hilbert, Sierpinki) avevano inventato particolare curve patologiche, ma non riuscirono ad avere una visione generale in modo da poter inserire queste costruzioni nello sviluppo di una nuova geometria. Le considerarono semplicemente delle eccezzioni o dei mostri senza riuscire a cogliere il loro vero significato. Il merito di Mandelbrot è stato quello di saper vedere le connessioni tra queste strane curve, di aver delineato la geometria frattale e mostrare che forme complesse e irregolari potevano essere comprese mediante semplici regole adeguatamente ripetute. Con la geometria frattale oggetti della natura come le linee costiere o le ramificazioni di una pianta o la forma di una nuvola possono essere adeguatamente descritte con un semplice modello matematico e essere riprodotte su un monitor. L'insime di Mandelbrot si ottiene con la semplice formula ricorsiva:

Si scegli una regione quadrata di lato 4 centrata nel piano complesso e per ogni punto (a, bi) di questa regione si pone c=a+bi e poi a partire da z₀=0+0i si calcola iterativamente:

z_n+1 = z_n² + c

e se dopo un certo numero di iterazioni (generalmente 100) il suo modulo (cioè la distanza di z_n+1 dall'origine) è minore 2 il punto c scelto all'inizio viene colorato di nero altrimenti viene lasciato bianco.

Se si colorano i punti che non appartengono all'insieme Mandelbrot (cioè quelli in cui il modulo di z_n+1 è maggiore di 2) con diverse tonalità a seconda del numero delle iterazioni si ottiene un'immagine colorata:

Osservando l'insieme di Mandelbrot possiamo notare una grande regione che ha la forma di una cardioide e una regione più piccola che forma un cerchio tangente alla cardioide. Sul contorno sia della cardioide che del cerchio si possono notare una moltitudine di protuberanze di forma circolare molte delle quali sono estremamente piccole. Anche sul contorno di queste protuberanze ci sono altre protuberanze ancora più piccole e cosí via.

Ingrandendo una parte del bordo dell'insieme di Mandelbrot si ottengono immagini suggestive e ricche di particolari in cui spesso ricompare in scala ridotta l'insieme di Mandelbrot.

La differenza tra le procedure per costruire l'insieme di Julia e l'insieme di Mandelbrot consiste nell'invertire i ruoli tra z₀ e c; nell'insieme di Julia c è fisso e z₀ è variabile mentre nell'insieme di Mandelbrot è il contrario. L'insieme di Mandelbrot contiene in se in scala ridotta tutti gli insiemi di Julia.