Geometria dei frattali

Introduzione

Le forme degli oggetti naturali come un sasso, una montagna, un albero, un fulmine

sono contorte, frastagliate, discontinue, irregolari e ben lontane dalle usuali forme delle figure geometriche come il triangolo, il quadrato, la piramide della geometria euclidea. Il matematico Benoit Mandelbrot afferma: La geometria euclidea è incapace di descrivere la natura nella sua complessità, in quanto si limita a descrivere tutto ciò che è regolare ... mentre osservando la natura vediamo che le montagne non sono dei coni, le nuvole non sono delle sfere, le coste non sono dei cerchi, ma sono oggetti geometricamente molto complessi. Per definire questi oggetti naturali complessi Mandelbrot ha coniato, nel 1975, il termine frattali e a porre le basi per lo studio della geometria dei frattali. La parola frattale deriva dal termine latino fractus, che significa frammentato, riferendosi all'aspetto visivo di questi oggetti naturali. Lo scopo della geometria dei frattali è quello di studiare e descrivere con un linguaggio nuovo le forme della natura in modo da riprodurle con regole matematiche. Oggi tutto ciò è possibile e spesso interi paesaggi vengono costruiti con l'aiuto di un computer e utilizzati nelle produzioni cinematografiche. Ecco ad esempio un'immagine del film Avatar 2 del registra James Cameron ricostruita al computer utilizzando le tecniche della geometria dei frattali.

Se osserviamo un albero

vediamo che da ogni ramo sporgono altri rami più piccoli e da ciascuno di questi fuoriescono altri rami ancora più piccoli. Nella struttura di un albero c’è quindi una ripetizione della forma in scala ridotta. In natura queste forme ripetitive si riscontrano con una certa frequenza. Un fulmine, una felce, una insenatura, una costa frastagliata, i nostri polmoni, il nostro sistema venoso, il delta di un grande fiume, il profilo di una catena montuosa, un cavolfiore, un fiocco di neve, sono tutti oggetti costituiti da parti che si ripetono in scala ridotta. Questa proprietà, è detta autosimilarità, ed è quella che caratterizza gli oggetti frattali. Ciò significa che la maggior parte degli oggetti naturali sono formati da parti geometricamente simili all'intera figura, però in scala ridotta. Se ingrandiamo ogni piccola parte di un cavolo romano vediamo un'immagine ridotta del cavolo intero.

La geometria frattale, nata agli inizi del XX secolo sta assumendo un ruolo sempre più importante in moltissimi campi della scienza. E’ diventata indispensabile per capire i sistemi dinamici e i sistemi caotici. Un fenomeno caotico sembra imprevedibile perchè ogni piccolissimo mutamento determina una situazione nuova completamente diversa da quella precedente. Piccolissime differenze nelle condizioni iniziali determinano grandissime variazioni nella situazione finale. Pensate alla meteorologia e a tutti i possibili cambiamenti climatici che si possono verificare mutando di poco la temperatura, la pressione dell'aria, la velocità dei venti, l'umidità, l'inquinamento. Eppure, esistono delle simulazioni matematiche che permettono di fare una previsione sulle condizioni del tempo molto attendibile.