Geometria dei frattali

La polvere di Cantor

Un famoso frattale proposto da Georg Cantor (1845-1918) è chiamato la polvere di Cantor o insieme di Cantor. Per realizzare questo frattale si applica il seguente procedimento ricorsivo:

• Passo 0: prendere un segmento di lunghezza 1;

• Passo 1: dividere il segmento in tre parti uguali;

• Passo 2: rimuovere il segmento centrale lasciando i punti estremi;

• Passo 3: ripetere i passi 1 e 2 su ogni nuovo segmento.

Ecco le prime iterazioni.

Ogni volta che viene eseguito il procedimento ricorsivo la figura risulta composta da un numero doppio di segmenti sempre più spezzati. Dopo n iterazioni con n che tende all'infinito si ottiene la polvere di Cantor.

Calcoliamo la dimensione di questo frattale. Il fattore di scala è 1/3 (ogni segmento viene diviso in tre parti uguali) mentre il numero delle parti identiche è 2 (ad ogni iterazione ad un segmento corrispondono 2 segmenti uguali) per cui si ha:

Se calcoliamo la lunghezza complessiva dei segmenti eliminati si ottiene:

Nella parentesi quadra c'è una serie geometrica di ragione 2/3 e applicando la formula delle serie si ottiene:

Dal risultato si ha la sensazione che dopo le infinite iterazioni non rimanga nulla del segmento iniziale. Ma non è cosí perchè nel passo 2 viene detto di rimuovere il segmento centrale lasciando però i punti estremi del segmento tolto e quindi questi punti non vengono mai eliminati. In altre parole la polvere di Cantor contiene infinite copie di se stesso in scala ridotta e quindi se ingrandiamo una sua piccola parte continueremo a vedere un'immaggine simile alla polvere di Cantor. Pertanto la polvere di Cantor è una figura autosimile perchè c'è una ripetizione della forma in scala ridotta.