Geometria dei frattali

Le curve mostruose e il concetto di dimensione

Nel 1890 il matematico Giuseppe Peano (1858-1932) scoprí la prima curva continua frattale che riempie un intero quadrato. Da allora sono state concepite molte altre curve di Peano. Ad esempio, nel 1891 il matematico David Hilbert (1862-1943) propose una variante della curva di Peano che ricopre l'intero quadrato senza passare due volte per lo stesso punto. Per realizzare questa curva e le altre che vedremo più avanti si applica un procedimento molto semplice detto ricorsivo dove uno o più passi vengono ripetuti infinitamente ogni volta partendo dal risultato ottenuto in precedenza. Ogni ripetizione di questi passi viene detta iterazione. In questo modo si ottengono strutture dotate di autosomiglianza frattale. Ecco il procedimento ricorsivo:

• Passo 0: prendere un quadrato con lato di lunghezza 1;

• Passo 1: dividere il quadrato in quattro quadrati uguali;

• Passo 2: congiungere i centri dei 4 quadrati iniziando dal quadrato in basso a sinistra;

• Passo 3: ripetere i passi 1 e 2 su ogni nuovo quadrato aggiungendo alla fine opportuni segmenti per ottenere una curva ininterrotta.

L'insieme di queste semplici azioni, che opportunamente eseguite ci permettono di costruire la curva di Peano-Hilbert viene detto algoritmo e lo possiamo rappresentare mediante lo schema:

Ecco la prima iterazione con i tre segmenti che connettono le quattro copie:

E le prime immagini della costruzione ricorsiva della curva di Peano-Hilbert.

E ripetendo continuamente la stessa procedura la curva ricoprirà sempre di più la superficie del quadrato. In teoria la costruzione della curva di Peano-Hilbert può essere portata avanti indefinitamente, cosicchè la curva toccherà qualsiasi punto del quadrato senza mai attraversare se stessa.

Un quadrato avendo lunghezza e larghezza, per la geometria euclidea, ha dimensione 2 mentre, una curva essendo una linea ha solo lunghezza e quindi ha dimensione 1. Però, se la curva di Peano-Hilbert ricopre tutta la superficie del quadrato dovrebbe avere la stessa dimensione del quadrato cioè dimensione 2. Si arriva cosí a un paradosso, cioè ad una curva mostruosa che ha dimensione 2 invece della consueta dimensione 1. Eppure il ragionamento che induceva a dire che la curva di Peano-Hilbert avesse dimensione 2 era del tutto logico anche se lasciava interdetti e perplessi i matematici di quel periodo. Ci si rese conto che bisognava cambiare il concetto di dimensione euclidea. Nella geometria euclidea la dimensione di un oggetto geometrico è predefinita ed è espressa da un numero intero: il punto ha dimensione 0, la retta o una linea ha dimensione 1, un poligono o il piano ha dimensione 2 e un solido o lo spazio ha dimensione 3. Il concetto di dimensione euclidea è legato al concetto di movimento: su un punto non c'è possibilità di muoversi, su una linea retta possiamo muoverci in una sola direzione avanti-indietro come un treno sui binari, su una superficie possiamo muoverci in due direzioni avanti-indietro e destra-sinistra come una nave sulla superficie del mare, nello spazio possiamo muoverci in tre direzioni avanti-indietro, destra-sinistra e sopra-sotto come un aereo dopo il decollo. Nella geometria dei frattali la dimensione non è più legata al movimento ed è espressa da un numero reale e quindi può essere sia un numero intero sia un numero decimale sia un numero irrazionale. Vediamo allora, intuitivamente con tre semplici esempi, come si può ampliare il concetto di dimensione in modo che possa essere applicato anche a una curva frattale. Consideriamo un segmento, un quadrato e un cubo e dividiamoli in n parti uguali in modo che ogni parte sia in scala ridotta rispetto alla figura iniziale.

• Consideriamo un segmento e dividiamolo in 2 parti uguali e poi in 3 parti uguali in questo modo ogni parte e simile al segmento iniziale.

  

  Indichiamo con s il fattore di scala con n il numero dei segmenti identici e simili a quello iniziale e con d la dimensione del segmento. Possiamo scrivere nel primo caso:

  s = 1/2, n = 2, d = 1

  e nel secondo caso:

  s = 1/3, n = 3, d = 1

  Non è difficile vedere che tra n, s e d esiste la relazione:

  n = s^-d

  Da questa relazione si ottiene.

  

  e sostituendo a s e a n i loro valori si ha:

  

  e quindi si conferma la dimensione del segmento.

• Consideriamo un quadrato e dividiamolo in 4 parti uguali e poi in 9 parti uguali simili al quadrato iniziale.

  

  Indichiamo con s il fattore di scala, con n il numero dei quadrati identici e simili a quello iniziale e con d la dimensione del quadrato. Possiamo scrivere nel primo caso:

  s = 1/2, n = 4, d = 2

  e nel secondo caso:

  s = 1/3, n = 9, d = 2

  E scrivere la relazione:

  n = s^-d

  Da questa relazione si ottiene.

  

  e sostituendo a s e a n i loro valori si ha:

  

  e quindi si conferma la dimensione del quadrato.

• Consideriamo un cubo e dividiamolo in 8 parti uguali e poi in 27 parti uguali simili al cubo iniziale.

  

  Indichiamo con s il fattore di scala, con n il numero dei cubi identici e simili a quello iniziale e con d la dimensione del cubo. Possiamo scrivere nel primo caso

  s = 1/2, n = 8, d = 3

  e nel secondo caso:

  s = 1/3, n = 27, d = 3

  E scrivere la relazione:

  n = s^-d

  Da questa relazione si ottiene.

  

  e sostituendo a s e a n i loro valori si ha:

  

  e quindi si conferma la dimensione del cubo.

Possiamo quindi definire la dimensione d di una figura autosimile medinate la formula:

Essendo la curva di Peano-Hilbert autosimile possiamo applicare questa formula per determinare la sua dimensione frattale. In questo caso il fattore di scala è s=1/2 e il numero delle copie simili a quella iniziale è n=4 pertanto si ha:

E questo risultato conferma l'intuizione di Peano che la curva ha dimensione 2. La nozione di dimensione frattale o di similitudine si deve al matematico tedesco Felix Hausdorff (1868-1942) e per questo è anche detta dimensione di Hausdorff