Indice
Introduzione
Le curve mostruose e il concetto di dimensione
Merletto e fiocco di neve di koch
Curva di Koch generalizzata
La polvere di Cantor
Triangolo di Sierpinski
Tappeto di Sierpinski
Spugna di Menger
Albero di Pitagora
Una montagna frattale
Una fronde di felce frattale
Frattali lineari e similitudine
Frattali non lineari e l'insiemi di Julia
Frattali e computer
Frattale di Mandelbrot
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Curva di Koch generalizzata
Se guardiamo un tratto di una costa marittima frastagliata possiamo notare la presenza di numerose insenature e se abbiamo la possibilità di ingradire una di queste insenature possiamo facilmente scorgere delle insenature più piccole che presentano la stessa forma.
Ora, la curva di Koch può rappresentare un modello semplificato di una costa come si vede in figura.
Modificando opportunamente la figura base che si ripete in ogni iterazione in scala ridotta possiamo ottenere delle curve sempre più realistiche ad una costa marittima. Ad esempio, Richardson ha stabilito che la dimensione frattale della costa ovest dell'Inghiltezza è 1,25. Nella curva di Koch c'è una figura iniziale, il segmento di lunghezza 1 detto iniziatore e una figura che si ripete detta generatore.
Possiamo lasciare inalterato l'iniziatore e cambiare il generatore. Ecco alcuni esempi:
Esempio 1:
L'iniziatore è stato diviso in quattro parti uguali mentre il generatore è costituito da sei segmenti uguali e operando ricorsivamente si ottiene una curva che ha dimensione:
Esempio 2:
L'iniziatore è stato diviso in quattro parti uguali mentre il generatore è costituito da cinque segmenti uguali e operando ricorsivamente si ottiene una curva che ha dimensione:
Esempio 3:
L'iniziatore è stato diviso in quattro parti uguali mentre il generatore è costituito da sette segmenti uguali e operando ricorsivamente si ottiene una curva che ha dimensione:
Si intuisce che ci sono moltissime variazioni della curva di Koch. Naturalmente, anche l'isola di Koch ha moltissime varianti cambiando anche l'iniziatore. Ecco due esempi:
Iniziatore un quadrato con lato di lunghezza 1:
Il lato del quadrato è diviso in quattro parti uguali mentre il generatore è costituito da otto segmenti uguali e operando ricorsivamente si ottiene una curva che ha dimensione:
Iniziatore un esagono con lato di lunghezza 1:
Questo frattale chiamato isola di Gosper è ottenuto dividendo ogni lato dell'esagono in tre parti uguali e ogni parte è √7 volte più corto e quindi la curva ha dimensione:
