Geometria dei frattali

Frattali non lineari e l'insiemi di Julia

Consideriamo la successione:

x, x², x⁴, x⁸, ...

che è definita dalla formula ricorsiva:

x_n+1 = x_n²

dove n è un numero naturale maggiore di zero, e vediamo come variano i termini di questa successione al variare del valore iniziale di x₀. Si possono presentare tre casi:

• x₀ è minore di 1.

  I termini della successione diventano sempre più piccoli e tendono a zero. Ad esempio per x₀=1/3 si ha la successione:

  

  Se rappresentiamo i termini di questa successione come punti su una retta vedremo che i punti si avvicinano sempre di più al punto O che rappresenta lo zero. Possiamo dire questi punti sono attratti dal punto O.

• x₀ è maggiore di 1.

  I termini della successione diventano sempre più grandi e tendono a infinito. Ad esempio per x₀=3 si ha la successione:

  3, 3², 3⁴, 3⁸, ...

  Se rappresentiamo i termini di questa successione come punti su una retta vedremo che i punti si allontanano sempre di più e tendono all'infinito. Possiamo dire questi punti sono attratti dall'infinito.

• x₀ è uguale a 1.

  Tutti i termini della successione sono uguali a 1. Se rappresentiamo i termini di questa successione come punti su una retta vedremo che i punti non si muovono dal punto che rappresenta l'1. Diremo che questi punti rappresentano la frontiera tra i due attrattori lo zero e l'infinito.

Nei primi anni del XX secolo i matematici francesi Gaston Julia (1893-1978) e Pierre Fatou (1878-1929) si posero il problema di studiare il comportamento della successione di punti z_n del piano dei numeri complessi definita dalla formula ricorsiva:

z_n+1 = z_n² + c

dove c è un numero complesso scelto arbitrariamente.

Ricordiamo che un numero complesso si può scrivere nella forma:

z = a + bi

dove a è la parte reale, bi la parte immaginaria e i l'unità immaginaria definita dalla relazione i² = -1. Ad ogni numero complesso corrisponde un punto nel piano complesso dove l'asse orizzontale rappresentata la parte reale e l'asse verticale la parte immaginaria.

Questa rappresentazione permette di determinare la lunghezza del segmento di retta che congiunge l'origine O al punto z e si calcola applicando il teorema di Pitagora. Tale lunghezza viene detta modulo del numero complesso e si indica con il simbolo |z| ed è un numero reale maggiore o uguale a zero. (per ulteriori approfondimenti vedere algebra4/numeri complessi).

Ritorniamo alla formula ricorsiva, se si pone c=0 si ha la successione:

z₀, z₀², z₀⁴, z₀⁸, ...

Si possono presentare tre casi a seconda del valore iniziale del modulo di z₀:

• |z₀| è maggiore di 1.

  Iterando la formula ricorsiva i numeri complessi della successione avranno un modulo sempre più grande e tenderanno ad allontanari sempre di più dall'origine degli assi verso l'infinito. L'infinito è dunque un attrattore per tutti i numeri complessi con modulo maggiore di 1.

• |z₀| è minore di 1.

  I numeri complessi della successione avranno un modulo sempre più piccolo e tenderanno al numero complesso 0+0i. L'origine degli assi è quindi un attrattore per tutti i numeri complessi con modulo minore di 1.

• |z₀| è uguale a 1.

  I numeri complessi della successione avranno un modulo sempre uguale a 1 e quidi si troveranno su una circonferenza unitaria che rappresenta la frontiera tra i due attrattori.

Il piano complesso è quindi diviso in due regioni: quella interna alla circonferenza unitaria dove sono intrappolati tutti i numeri con modulo minore di 1 e quella fuori della circonferenza unitaria dove ci sono tutti i numeri complessi che tendono a scappare verso l'infinito. I numeri complessi che sono sulla circonferena unitaria costituiscono la frontiera tra i due insiemi di numeri complessi e rappresentano l'insieme di Julia di parametro complesso c=0.

Se il valore di c è diverso da zero la rappresentazione nel piano complesso dei numeri complessi della successione diventa molto più complicata perchè anche per piccole variazioni del numero complesso c la linea di frontiera, cioè l'insieme di Julia, assume forme molto diverse tra loro: può essere una curva diversa dalla circonferenza con un perimetro molto frastagliato, oppure più curve frastagliate e connesse tra loro, oppure può essere costituito da un numero infinito di punti non connessi e dispersi e può avere molti punti di attrazione. Sia Julia che Fatou supposero che tutto il margine della frontira fosse riprodotto in ogni piccola parte della figura. Purtroppo non ebbero la possibilità di provarlo con delle immagini che oggi, con l'avvento dei computer, si possono facilmente costruire come vedremo nel prossimo paragrafo.