Geometria proiettiva

Proprietà proiettive delle coniche

Nella geometria proiettiva tutte le sezioni coniche sono equivalenti fra loro perchè si possono ottenere mediante una trasformazione proiettiva del cerchio. Ne segue che le proprietà proiettive del cerchio sono comune a tutte le coniche. Ad esempio, consideriamo un cerchio e cinque punti O, A, B, C, D sulla circonferenza e tracciamo le rette OA, OB, OC, OD. Poi consideriamo un altro punto O' sulla circonferenza e tracciamo le rette O'A, O'B, O'C, O'D.

Dalla geometria euclidea sappiamo che gli angoli alla circonferenza che insistono su uno stesso arco sono uguali pertanto gli angoli AOB, BOC, COD sono rispettivamente uguali agli angoli AO'B, BO'C, CO'D indipendente dalla posizione di O'. Questa proprietà può essere messa in relazione col concetto proiettivo di birapporto tra i due fasci che hanno centro in O e O'. Ne segue che le quattro rette a, b, c, d avranno un birapporto (abcd) e le quattro rette a', b', c', d' avranno un birapporto (a'b'c'd') e questi due rapporti avranno lo stesso valore;

(abcd) = (a'b'c'd')

Se proiettiamo il cerchio con i due fasci in un'ellisse o in un'altra conica essendo il birapporto invariante rispetto alle proiezioni, varrà ancora l'uguaglianza:

(abcd) = (a'b'c'd')

Questo risultato è importante perchè con un ragionamento inverso si può dimostrare che se esistono su una curva S due punti O e O' tali che ogni quaterna di punti A, B, C, D di S appaia sotto lo stesso birapporto sia da O che da O', allora la curva S è una conica. Tutto ciò permette di dare una definizione proiettiva delle coniche:

Una conica è il luogo geometrico delle intersezioni di rette corrispondenti di due fasci tra loro proiettivi.