Geometria proiettiva

Conica come insieme di rette

Nel paragrafo precedente abbiamo dato una definizione proiettiva delle coniche come un insieme di punti:

Una conica come insieme di punti, è costituita dai punti di intersezione delle rette corrispondenti di due fasci di rette tra loro proiettive.

Per la legge di dualità è lecito, nel piano, scambiare fra loro le parole punto e retta per cui possiamo dare una definizione proiettiva delle coniche come un insieme di rette:

Una conica come insieme di rette, è costituita dalle rette che congiungono i punti corrispondenti di due punteggiate tra loro proiettive.

Ora, una retta r che tocca una conica in un solo punto P è detta tangente alla conica e la proprietà delle tangenti a una conica è invariante rispetto alle proiezioni. Possiamo allora considerare la tangente r a una conica in un suo punto P come il duale del punto P e quindi considerare la conica come l'insieme di tutte le rette tangenti alla curva stessa. In questo caso si dice che tutte le tangenti a una conica costituiscono una famiglia di rette il cui inviluppo è la curva stessa. Ecco ad esempio un cerchio e una parabola come insieme di tangenti