Geometria proiettiva

Teorema di Desargues

Girard Desargues (1593-1662) è considerato uno dei fondatore della moderna geometria proiettiva ed è famoso il suo teorema sul triangolo:

Se due triangoli ABC e A'B'C' sono posti in un piano in modo che le rette congiungenti i vertici corrispondenti concorrono in un punto O, allora i lati corrispondenti, prolungati, si incontrano in tre punti allineati.

Questo teorema è vero anche se i due triangoli giacciono in due piani differenti non paralleli, anzi in questa nuova situazione il teorema si dimostra più facilmente.

Infatti, in tal caso i due triangoli essendo in prospettiva rispetto al punto O sono due sezioni planari di una piramide triangolare e le rette AB e A'B' giacciono sullo stesso piano e si intersecano nel punto G; analogamente BC e B'C' si intersecano in E, AC e A'C' in F. Ora i punti G, E, F appartenendo ai prolungamenti dei lati di ABC e A'B'C' appartengono anche allo stesso piano di ciascuno di questi due triangoli e quindi devono necessariamente trovarsi sull'intersezione di questi due piani che è una retta e quindi i punti G, E, F devono essere allineati.

Di questo teorema è vero anche l'inverso;

Se due triangoli ABC e A'B'C' sono posti in un piano in modo che i punti di intersezione dei lati corrispondenti siano allineati, allora le rette congiungenti i vertici corrispondenti sono concorrenti.