Geometria proiettiva

Due teoremi duali

Un famoso esempio di due teoremi duali della geometria proiettiva sono i teoremi di Blaise Pascal (1623-1662) e di Julien Brianchon (1785-1864). Teorema di Pascal:

Data una conica, presi sei punti appartenenti ad essa, e disegnato l'esagono inscritto nella conica i prolungamenti dei lati opposti si incontrano su una retta.

Teorema di Brianchon:

Data una conica, prese sei rette ad essa tangenti, e disegnate le diagonali principali dell'esagono circoscritto alla conica, esse si incontrano in un punto.

Questi due treoremi mutano l'uno nell'altro sostituendo punto con retta e viceversa. Il principio di dualità è importante perchè semplifica notevolmente l'opera dimostrativa, poichè la dimostrazione di un teorema implica la dimostrazione del teorema duale.

Pascal si interessò alla geometria proiettiva in età giovanile e a soli 16 anni nel 1639 scoprí il teorema dell'esagono inscritto che chiamò esagramma mistico. La retta che congiunge i punti di intersezione dei lati opposti dell'esagono è chiamata retta di Pascal. Questo teorema è valido anche se l'esagono è intrecciato e in tal caso i sei vertici possono essere permutati in 720 modi diversi. Ma tutte queste 720 permutazioni danno luogo a solo 60 esagoni diversi (ad esempio, ABCDEF e FEDCBA costituiscono lo stesso esagono) per cui si possono ottenere 60 rette di Pascal distinte. Ecco ad esempio, una retta di Pascal ottenuta da un esagono intrecciato.

Per ogni esagono inscritto in una conica esistono solo altri tre esagoni ad esso digiunti cioè esagoni in cui nessun lato è anche lato dell'esagono preso in considerazione. Ad esempio se consideriamo l'esagono ABCDEF in figura:

I tre esagono disgiunti all'esagono ABCDEF sono:

Nel 1849 Thomas Kirkman notò che le rette di Pascal degli esagoni disgiunti si intersecano in uno stesso punto detto punto di Kirkman. Inoltre, anche i punti di Kirkman sono 60 come le rette di Pascal.

Del teorema di Pascal si può dare una diversa interpretazione:

Condizione necessaria e sufficiente affinchè un esagono sia inscrittibile in una conica è che siano allineati i punti di intersezione delle tre coppie di lati opposti.

Brianchon nel 1804 riscoprí il teorema di Pascal e scoprí il suo duale e il punto di incontro delle tre diagonali dell'esagono è chiamato punto di Brianchon.